Hvor er vi?

Med disse store distansene s? har vi funnet ut at vi skal benytte vanlige jordn?re enheter n?r det kommer til disse planetene, hastighetene og posisjonene ute i rommet. Det betyr at alle posisjoner blir regnet i et vanlig x,y-kartesisk koordinatsystem der origo er stjernen og alle tall vi tilegner koordinatsystemet er m?lt i astronomiske enheter [AU].(En astronomisk enhet tilsvarer jordens avstand til solen, alts? 1 AU = 149.597e6 m)

Alle hastigheter m?ler vi ogs? i et tilsvarende vektorsystem men her blir fart m?lt i astronomiske enheter per ?r [AU/yrs], der ¡®?r¡¯ menes som vanlig ?r alts? den tiden v?r gode gamle jord bruker p? ? sirkle rundt den enda eldre solen v?r. For ? finne posisjonen til raketten v?r s? m? vi tenke p? hvor vi egentlig sk?t opp fra. Vi sier at vi startet hele oppskytingen p? \(t_0=0\) men lettet ikke f?r \(t_1=23s\), i den mellomtiden s? har planeten rukket ? rotere litt slik at vi har skutt opp litt skjevt fra der vi egentlig rettet opp raketten f?rst. I tillegg til dette m? vi ogs? tenke p? at raketten ogs? har et ekstra fart komponent fra selve planeten som roterte litt mens den tok av bakken.

Planeten har ogs? en hastighet rundt stjernen vi m? ogs? tenke p?. Vi starter med hvor vi sk?t opp fra i forhold til planeten. Vi vet at planeten har en oml?pstid rundt seg selv p? 1.15673831 jordiske dager. Vi kan da regne ut at vinkelendringen p? ekvator vil v?re

 \(\Delta \theta (\Delta t) = \frac{\Delta t}{\text{oml?pstid}} 2 \pi \),

der oml?pstiden er

\(1.15673831\; \text{dager} = 1.15673831 * 24 * 60 * 60 \;\text{sekunder}\)

Dermed

\(\Delta \theta (23.180s) = \frac{23.180s}{1.15673831 * 24 * 60 * 60s} 2 \pi = 0.001457 \text{rad} \)

Ved \(t_0\) er planeten direkte mot \(x\)-retning fra stjernen s? da er raketten ogs? p? den ytterste delen av planeten, sett fra stjernen, og peker rett bortover \(x\)-aksen. S? n?r planeten roterer litt s? m? vi finne ut hva disse nye fartskomponentene til raketten vil si etter den lille roteringen. Siden vi \(t_0\) er rett p? x-aksen er det enkelt ? finne retningene n?r \(t_1\) ved hjelp av litt hyggelig trigonometri.

 \(v_x = v \cos \theta, \quad v_y = v \sin \theta\) , der \(v\) er farten til raketten fra planeten.

S? har vi ogs? farten fra selve rotasjonen til planeten som gir raketten en liten fart tangensialt for planeten. \(\vec{v_{t_{planet}}} = (- v_\theta \sin \theta, v_\theta \cos \theta)\), der \(v_\theta\) er overflatehastigheten til planeten. Da har vi en ganske god forst?else og beregning p? hastigheten til raketten i forhold til planeten, men det vi trenger er hastigheten i forhold til stjernen, noe som betyr at vi m? ogs? legge til planetens hastighet til beregningene v?res.

Da kan vi bruke hastigheten p? planeten n?r \(t = t_0\) fordi denne hastigheten vil endre seg ubetydelig lite fra \(t=t_1\). Da kan vi sette sammen alle disse komponentene og regne ut hastighetsvektoren til raketten i referanse fra stjernen.

\(\vec{v} = (v \cos \theta - v_\theta \sin \theta + v_{\text{planet},x_0}, v \sin \theta + v_\theta \cos \theta + v_{\text{planet},y_0}) \),

der \(v = 11100.338 m/s,\quad \theta=\Delta \theta (23.180s), \quad v_{\text{planet},x_0} = 0.0 AU/yrs,\quad v_{\text{planet},y_0}=5.4709814393 AU/yrs \)

Regner vi dette, og ikke glemmer ? gj?re alt om til astronomiske enheter og tider, s? ender vi opp med f?lgende hastighetsvektor. \(\vec{v} = (2.3398847654515662, \; 5.5574708962942605) AU/yrs\)

N? som vi har hastighetsvektoren kan vi bare bruke litt grunnleggende kunnskap mellom fart og posisjon til ? finne den nye posisjonen: \(\vec{r} = \vec{v} * \Delta t = (2.3560803144408129,\;?6.8720573875941199e-05) AU \),

der \(\Delta t\) er tiden det tok fra raketten forlot overflaten til den n?dde unnslipningshastigheten alts? \(\Delta t = 389.609s\).

## ERROR ## ERROR ##

Oi oi her har det skjedd noe galt. Det ser ut som noe veldig top top hemmelig SNASA teknologi som vi har klart ? slenge ombord satellitten har tilfeldigvis klart ? selv m?le posisjonen og hastigheten sin fra stjernen, ogs? klart ? ?delegge seg selv i prosessen! Jaja, da kan vi ikke bruke den greia igjen, men n? har vi hvertfall en ny posisjon og hastighet som vi f?r bare anta er riktig ogs? f?r vi g? over v?r tidligere matte en annen dag.

V?r nye posisjon er da:  \(\vec{r} = (2.35605608, 7.27757442e-05) AU\)

Og nye hastighetsvektor er:  \(\vec{v} = (2.338752, 5.62416214) AU/yrs\)

Da har vi klart ? skyte opp en stor satellitt med mye morsomme greier opp i verdensrommet og klart ? finne posisjonen og hastigheten til den! Hva skal vi gj?re s? videre? Hvordan skal vi klare ? komme oss hjem til SNASA? Skal vi kanskje forbli, montro? Kolonisere med enda mer mystisk SNASA bioteknologi? F?lg med p? denne bloggen s? f?r vi bare se!