Vi har tre planeter som ligger etter hverandre i rekke i hvert sitt solsystem, og kaller disse P1, P2 og P3. Avstanden mellom planetene er L0 = 200 lys?r, slik at avstanden fra P1 til P3 blir 400 lys?r. Disse planetene beveger seg ikke i forhold til hverandre, og de er derfor i det samme referansesystemet. En astronaut reiser fra P1 til P2. Han starter ved x = x' = 0 og t = t' = 0 hvor (x, t) er planetkoordinater, og (x', t') er romskipskoordinater. Romskipet reiser med en fart p? v = 0.99. Vi har ogs? et romskip #2 som reiser fra P3, passerer P2 og ankommer P1. Hastigheten til dette romskipet er v = -0.99 i motsatt retning av det f?rste romskipet. Dette systemet kan illustreres med to heiser som er sammensatt av mange romskip, og som g?r hver sin retning p? hver side av de tre planetene - se figur 1.
Vi definerer f?rst og fremst noen eventer s? vi har en klar oversikt:
Event A = Astronauten forlater P1
Event B = Astronauten ankommer P2
F?rst og fremst kan vi beregne hvor lang tid folket som sitter p? planet P1 vil oppleve at det tar f?r event B inntreffer. Dette gj?res enkelt og greit med veifarttid-formelen, og vi f?r:
Δt = \({s \over v}\) = \({200 lys?r \over 0.99c}\) = 202 ?r
Det h?res jo rimelig ut. N? skal vi unders?ke denne samme tiden fra andre referansesystem, og definerer derfor et nytt event; Samtidig som astronauten v?r ankommer planet P2 i referansesystemet som tilsvarer den utg?ende heisen, passerer en annen observat?r i et annet romskip i den samme heisen, dvs. en annen observat?r i det samme referansesystemet, planet P1 med posisjon xB' = 0. Fordi disse to observat?rene befinner seg i ett og samme referansesystem, vil de dermed ha to synkroniserte klokker. Vi definerer event B' som eventet da denne andre observat?ren ser ut av vinduet sitt og sjekker hva klokka er p? P1. Event B' finner alts? sted p? posisjonen til P1, og p? samme tid (i utg?ende referansesystem) som v?r opprinnelige astronaut ankommer P2.
Vi kan definere tiden det tar ? reise til P2, sett fra planetsystemet, som tB = L0/v. Dette, i tillegg til posisjonen x'B' for event B', kan vi bruke til ? finne tiden den nye observat?ren leser av klokkene p? P1. Denne tiden blir tB' = L0/v - vL0. Setter vi inn verdiene v?re her, f?r vi at tB' = 4 ?r. Det har alts? tatt 4 ?r i planetsystemet for astronauten ? reise de 200 lys?rene til P2. Fikk vi ikke nettopp 202 ?r for denne verdien? Man skulle tro at vi hadde gjort en alvorlig feil i beregningene v?re her, men dette er det samme resultatet som vi f?r om vi ser for oss et referansesystem hvor det er romskipet som st?r i ro, og planetene som beveger p? seg. Ved hjelp av uttrykket for tidsdilatasjon og Lorentztransformasjon finner vi da at tiden det tar p? P1 for planet P2 ? ankomme romskipet, er Δt' = 4 ?r. Det viser seg alts? at det ikke vil v?re noen forskjell p? om vi ser p? et system der heisen st?r i ro, eller om vi ser p? et system der planetene st?r i ro! MEN - selv om klokka p? P1 ble lest av samtidig som romskipet ankom P2, I DET UTG?ENDE REFERANSESYSTEMET, s? skjer IKKE de to hendelsene, at klokka blir sjekka og romskipet ankommer P2, samtidig i planetsystemet! For astronauten i den utg?ende heisen har kun 4 ?r passert p? P1 n?r romskipet ankommer P2, men for observat?rer p? planet P1, har det g?tt 202 ?r f?r du ankommer P2! Det er denne delen av relativitetsteorien jeg liker ? kalle speisa. Alts?, hva er det som foreg?r her?!
N?r astronauten ankommer P1, hopper han over i et romskip som f?lger den returnerende heisen (se figur 1). Her m?ter du person P som har reist fra P3, og er p? vei mot P1. I planetsystemet starter astronauten p? P1 og person P p? P3 reisen sin samtidig. Vi kaller n? eventet n?r person P startet sin reise for event D. Event A og event D skjer alts? samtidig i planetsystemet. Vi kaller koordinatsystemet til den returnerende heisen, den person P befinner seg i, for (x'', t'') - dobbeltmerka. Klokkene i dette systemet settes til null det ?yeblikket person P starter sin reise. Vi skal n? se p? noe som kalles tidromintervall, eller Lorentz' linjeelement. Da har vi en st?rrelse s, som er en invariant st?rrelse, oppi alt dette her! Denne kan komme godt med! Vi behandler jo n? rom og tid p? samme m?te. Tidrom, eller romtid om du vil(?), er en modell som kombinerer de tre dimensjonene v?re med tidsdimensjonen. Alle disse eventene vi driver ? definerer representerer punkter i tidrommet, og det er avstanden (derfor linjeelement) mellom to slike hendelser vi kan definere som et tidromintervall. I slike "flate" rom som vi n? jobber med, hvor dimensjonene f?lger Euklids geometri (basically det du kjenner som "normal" geometri), er tidromintervallet uavhengig av inertialsystem, og dermed likt for alle observat?rer selv om avstander i rom og tid hver for seg ikke n?dvendigvis er det. Uttrykket for et tidromintervall utledes ved hjelp av Pytagoras teorem. Denne utledningen dropper jeg n?, men resultatet blir som f?lger:
(Δs)2 = (Δt)2 - (Δx2 + Δy2 + Δz2) = (Δt)2 - (Δx2) (I v?rt tilfelle hvertfall, hvor vi kun ser p? en dimensjon av rommet)
Som et eksempel p? dette skal vi se p? tidromintervallet mellom event B og event D, ΔsBD. Dette kan vi bruke til ? finne tiden det har for person P ? reise til planet P2, i sitt eget referansesystem, t''B, alts? den returnerende heisen. Vi lager en oversikt over de forskjellige rom- og tidsintervallene:
ΔxBD = L0
ΔtBD = L0/v
Δx''BD = 0
Δt''BD = t''B
Invarians av tidromintervallet gir oss n?:
(ΔsBD)2 = (ΔtBD)2 - (ΔxBD)2 = (ΔtBD'')2 - (ΔxBD''2) ? t''B2 = L02/v2 - L02
N? skal vi definere enda en ny hendelse. Hva er klokken p? planet P1 for personer som befinner seg i den returnerende heisen? Vi gj?r den samme sjekken som vi gjorde i referansesystemet for den utg?ende heisen, da vi hadde en person i det tilsvarende referansesystemet som s? ut vinduet og leste av klokken p? P1, definert som event B'. Vi ser n? for oss en person i et romskip i den returnerende heisen som befinner seg ved posisjonen til P1 n?yaktig samtidig som event B finner sted p? P2 (i det returnerende referansesystemet), som sjekker klokka p? P1. Det at denne personen ser p? klokka p? P1 fra den returnerende heisen og dens referansesystem, kaller vi for event B''. Vi ?nsker n? selvf?lgelig ? finne tiden tB'' han leser av, og for dette vil vi bruke tidromintervallet ΔsDB''. Rom- og tidsintervallene blir n?:
ΔxDB'' = 2L0 → avstanden mellom P1 og P3
ΔtDB'' = tB'' - tD = tB'' - 0 = tB''
Δx''DB'' = LP1P2'' = L0/γ → Lorentztransformasjon, L0 = Lγ
Δt''DB'' = L0/γv → her har vi bare brukt at \(t = {s \over v}\) med s = Δx''DB''
La oss n? til slutt finne er uttrykk for tB'' f?r vi kommer til en konklusjon i dette tvillingparadokset. Vi setter
(ΔtDB'')2 - (ΔxDB'')2 = (ΔtDB'''')2 - (ΔxDB''''2)
Setter vi inn og tar kvadratet av alle rom- og tidsintervallene over, f?r vi etter litt omrokkeringer et uttrykk som ser ut som
tB''2 = L02/v2 + 2L02 + L02v2
Bruker vi 1. kvadratsetningen ser vi at vi f?r
tB'' = L0/v + L0v = 400 ?r
Hva er det som har skjedd n?? Hvordan har det plutselig g?tt 400 ?r? Astronauten brukte jo kun 4 ?r bortover?? Og han befinner seg fortsatt p? P2, han har bare gjort et veldig raskt bytte fra et romskip til et annet. F?r byttet hadde kun 4 ?r g?tt p? P1 siden reisen startet. N?, kun et sekund senere, har plutselig 400 ?r passert p? P1! Dette betyr at p? den lille tiden astronauten brukte p? ? bytte romskip, passerte hele 396 ?r p? P1. Og det er dette som er det virkelig paradokset i tvillingparadokset. L?sningen p? paradokset ligger i at n?r astronauten skal snu og reise tilbake, s? bytter han referansesystem. Han blir akselerert. Som nevnt for et par innlegg siden gjelder ikke den spesielle relativitetsteorien for akselererte referansesystemer! Ser vi p? tilfellet der romskipet sto i ro og planetene beveget p? seg, fikk vi de tallene vi fikk, fordi planetene ikke opplever denne samme akselerasjonen. Hadde farten derimot v?rt konstant, kunne astronauten og planeten byttet roller akkurat som de ville og resultatene ville alltid v?rt de samme. Men siden astronauten faktisk opplever en akselerasjon da han bytter romskip p? P2, mister vi symmetrien, og dette er grunnen til at de to tvillingene ikke kan bytte rolle. Hemmeligheten er akselerasjon.
Dette er heavy stoff, jeg vet. Vi har egentlig dratt dette eksperimentet enda lenger, og gjort haugevis av beregninger til. Jeg skulle likt ? tatt med disse her og, men det er en god del rein matematikk, og jeg er redd hodet ditt kanskje eksploderer om jeg pr?ver ? presse p? enda mer av dette. Jeg h?per likevel du kanskje ble litt glupere, hvertfall. Vi skal se p? én liten viktig (annen - slapp av, nok av dette, I KNOW) ting til innenfor den spesielle relativitetsteorien, f?r jeg vil ta deg med over til den generelle hvor vi blant annet skal se litt p? hva gravitasjonsfelt gj?r med rom og tid.
Vi blogges!