Laserkrig i rommet

I tillegg til ? dele inn i referansesystemer, liker vi ogs? ? dele opp og navngi de forskjellige hendelsene som finner sted. La oss begynne med dette, s? har vi noe fast ? jobbe utifra:

Event A = venstre romskip skyter laserstr?le
Event B = h?yre romskip skyter laserstr?le
Event C = venstre romskip eksploderer
Event D = h?yre romskip eksploderer

Setter vi n? opp en linje langs romskipene, kan vi si at event A, laserstr?len skytes fra romskipet lengst mot venstre, skjer hvor x = x' = 0 og n?r t = t' = 0 - i begge referansesystemene. For ? holde orden p? de forskjellige systemene, bruker vi den lille apostrofen du ser der for det systemet som er i bevegelse. Det betyr at alle verdiene m?lt fra dette synspunktet blir representert med en liten apostrof, og vi kaller det det merka systemet. Avstanden mellom de to skipene vil ogs? oppleves forskjellig alt ettersom hvor vi befinner oss hen. Fra planeten vil avstanden mellom de to v?re L = 450 km, mens om du sitter i et av romskipene, vil du m?le at det er L' = 1200 km til det motsatte romskipet.

Vi skal n? se at vi kan utlede det faktum at tiden m? g? forskjellig i forskjellige referansesystem. For ? gj?re dette skal vi bruke at lysfarten er invariant. Det vet du kanskje fra f?r av, men lysfarten vil alts? v?re den samme i alle referansesystem.

Vi starter i romskipsystemet. Her vet vi at b?de utskytningen av de to laserstr?lene, og deretter eksplosjonen av romskipene, skjer samtidig. Se n? for deg at du ikke kjenner til relativitetsteorien, men du vet at lysfarten er den samme for alle observat?rer. S? forestiller vi oss et tredje romskip som plasseres midt mellom de to andre romskipene. Det tredje romskipet st?r i ro i romskipssystemet. Denne tredje observat?ren vil se event A og B, og event C og D samtidig. Laserstr?lene vil med andre ord krysse hverandre akkurat p? denne tredje observat?rens posisjon. Romskipet i midten vil jo ha like stor avstand til begge romskipene. I tillegg konstaterte vi nettopp at lysfarten vil v?re den samme for alle observat?rer. Laseren fra hvert av de to romskipene m? alts? reise like langt. N?r vi i tillegg vet at de reiser med samme fart, vil de krysse hverandre p? midten, akkurat hvor det tredje romskipet befinner seg, og denne observat?ren ser de to settene med eventer samtidig.

Vi flytter oss n? til planetsystemet, og gj?r alle de kommende diskusjonene herfra. Anta n? f?rst at vi ikke kjenner til lengdekontraksjon og tidsdilatasjon. Som en oppfriskning handler lengdekontraksjon om at et linjestykke vil oppleves som kortere i et treghetssystem der linjestykke har en fartskomponent som er parallell med linjestykket selv, enn det vil i et system hvor denne parallelle fartskomponenten er lik null. Tidsdilatasjon forklarer at hvis en observat?r #1 er i jevn bevegelse eller i ro, vil tiden som m?les av en observat?r #2, som er i bevegelse i forhold til observat?r #1, g? langsommere enn tiden m?lt av observat?r #1. Vi vet at observat?ren i det tredje romskipet opplever at de to lysstr?lene krysser hverandre akkurat p? sin egen posisjon, og det samme oppleves fra planetsystemet, vi vet at dette romskipet befinner seg midt mellom romskipene som sender ut laserstr?lene, og vi vet at disse str?lene blir sendt ut samtidig i romskipsystemet. De to romskipene beveger seg alts? sammen mot h?yre. Sett fra planeten vil ikke romskipene ha de samme posisjonene n?r laserstr?lene skytes ut og n?r de m?tes. Fordi vi vet at lysfarten er konstant og str?lene ikke vil p?virkes av hastigheten til rakettene kan vi da konkludere med at fra planetsystemet, s? vil de to laserstr?lene bli skutt ut p? forskjellige tider - ikke samtidig. For at laserstr?lene skal krysse hverandre akkurat p? posisjonen til det tredje romskipet, ogs? i planetsystemet, s? m? alts? event B skje etter event A. For at alt skal stemme, m? alts? det h?yre romskipet, sett fra planeten, "holde igjen" sin laserstr?le. Kun da vil laserstr?lene krysse hverandre i midten av posisjonene romskipene har n?r str?lene faktisk n?r hverandre.

La oss f? ned noen uttrykk for posisjonen for hvert av romskipene og de to laserstr?lene. Legg merke til at i den spesielle relativitetsteorien, s? setter vi lysfarten c = 1. Jeg velger ? droppe beviset for dette akkurat n?, s? bare godta det.

I.     x_s1 = 0 + vt = vt   (romskip 1 starter i x = 0)
II.    x_s2 = L + vt          (romskip 2 starter i x = L)
III.   x_b1 = 0 + ct = t
IV.   x_b2 = L + vt_B - c(t - t_B) = L + vt_B - (t - t_B)   (laserstr?len fra romskip 2 beveger seg i negativ x-retning)

La oss n? bruke dette til ? finne uttrykk for n?r noen av de forskjellige eventene v?re finne sted. F?rst og fremst, n?r m?tes egentlig de to laserstr?lene p? midten? Dvs. n?r har vi x_b1 = (x_s1 + x_s2)/2? Setter vi her inn uttrykkene I.-III., f?r vi:

\(t = {vt + L + vt \over 2}\)   ?   t_x = \({L/2 \over 1-v}\)

Hva med n?r romskipet lengst til h?yre vil avfyre sin laserstr?le, dvs. n?r skjer event B? Posisjonen til str?len som beveger seg til venstre ved tiden t = t_x er lik posisjonen til romskip #3 p? den samme tiden t_x. Str?le b treffer alts? midten n?r t = t_x. Vi kan derfor bruke x_b2 = x_s3 (romskipet i midten) til ? finne t_B. Vi har:

x_s3 = L/2 + vt

Setter vi inn t = t_x og setter dette lik uttrykk IV ovenfor, knar litt, men ikke p? en vanskelig m?te, f?r vi:

t_B(v+1) = - L/2 + t_x(v+1)   ?   t_B = t_x - \({L/2 \over v + 1}\)

Til slutt kan vi finne tidspunktet for det venstre romskipet eksploderer, dvs. event C. Dette skjer n?r posisjonen til laserstr?len som beveger seg til venstre tilsvarer posisjonen til det venstre romskipet. Naturligvis. Dette tilsvarer x_s1 = x_b2, og vi setter igjen inn uttrykkene ovenfor, og med litt knaing, f?r vi:

t_C = t_B + \({L \over v+1}\)

Her kan vi sette inn uttrykket vi nettopp fant for t_B, og dette vil da gi oss

t_C = t_x + \({L/2 \over v + 1}\)

Til slutt i dette eksperimentet forestiller vi oss at i eksplosjonene s? vil lysstr?ler bli sendt mot observat?ren i midten. De to eksplosjonene skjedde samtidig i romskipsystemet, s? observat?ren i midten ser at ogs? lysstr?lene fra eksplosjonene krysser hverandre ved sin egen posisjon. Husk at t_C betegner n?r romskipet lengst til venter eksploderer. vt_C vil da utgj?re startposisjonen til lysstr?len fra eksplosjonen. Lengden dette lyset reiser f?r det treffer observat?ren i midten igjen kan betegnes med (t - t_C) (multiplisert med c = 1). Ut fra dette kan vi sette opp et uttrykk for posisjonen til lyset fra eksplosjonen av det venstre romskipet. Det blir:

x_light = vt_C + (t - t_C)

Tilbake i planetsystemet s? vil fortsatt lysstr?lene fra de to eksplosjonene krysse hverandre p? samme sted som det tredje romskipet befinner seg. Dette skjer ved tiden t_x2. Setter vi n? t = t_x2 og uttrykket for x_s3 lik uttrykket for posisjonen til lyset, som vi nettopp utledet, kan vi finne:

t_x2 = t_C - \({L/2 \over 1-v}\)

Her er det bare ? sette inn uttrykket v?rt for t_C, og kna godt en siste gang, for da finner vi at

t_x2 = t_x + \({-L \over v^2-1}\)   ?   t_x2 = t_x + \({L \over 1-v^2}\)

Det aller siste jeg tenker det kan v?re interessant ? se p? her, er tidsintervallet mellom n?r observat?ren i det tredje romskipet ser de to laserstr?lene krysse hverandre, og n?r den samme observat?ren ser de to eksplosjonene. Med andre ord - hvor lang tid tar det fra personen som er plassert midt i mellom de to romskipene oppdager laserstr?lene, til skipene eksploderer? Dette kan settes opp som dette:

¦¤t = t_x2 - t_x = t_x + \({L \over 1-v^2}\) - t_x = \({L \over 1-v^2}\)

Og der sier vi oss ferdig med laserkrig for denne gang. Slik relativitetsteori er ganske vanskelig, men jeg h?per du hang med p? noe hvertfall. Om ikke tenkte jeg ? ta deg gjennom enda ett par interessante eksperimenter.

Sees i neste innlegg!