N?r Katniss17 g?r inn i atmosf?ren til Skrukkla?s, vil romskipet v?rt alts? oppleve en luftmotstand. Luftmotstand er en kraft fra gasspartiklene i atmosf?ren som virker p? et legeme som beveger seg gjennom de, og som motvirker, dvs. bremser legemets bevegelse. Denne motstandskraften kan vi modellere ved formelen:
FD = \({1\over 2}\)ρCDAv2
Her er
- ρ = tettheten
- A = satellittens tverrsnittsareal som st?r normalt p? bevegelsesretningen
- v = hastigheten relativt til atmosf?ren
- CD = en dimensjonsl?s dragkoeffisient
For enkelthetens skyld setter vi n? dragkoeffisienten CD = 1, og vi f?r
FD = \({1\over 2}\)ρAv2
N?r satellitten, eller landeren, reiser gjennom atmosf?ren, vil den, som nevnt innledningsvis, bremses ned inntil den oppn?r sin terminalhastighet. Dette er den hastigheten hvor gravitasjonskraften fra Skrukkla?s og motstandskraften fra luftmotstanden er like store. Disse to kreftene summeres da opp til null, og vil gi en konstant hastighet. Dette er alts? den st?rste hastigheten en kan oppn? ved et fritt fall. Hvordan kan vi beregne denne? F?rst og fremst vil jeg bare minne om Newtons gravotasjonslov:
FG = \(G{Mm \over R^2}\)
Hvor M her vil v?re massen til Skrukkla?s, m er massen til Katniss og R representerer Skrukkla?s' radius. Vi ?nsker n? ? finne et uttrykk for terminalhastigheten i n?rheten av overflaten til Skrukkla?s. Her kan vi anta at tettheten vil v?re konstant. Setter vi n? uttrykkene for tyngdekraft og luftmotstand lik hverandre, f?r vi:
FD = FG
\({1\over 2}\)ρAv2 = \(G{Mm \over R^2}\)
Multipliserer begge sider av likningen med 2, og deler p? tetthet og areal:
v2 = \({2GMm \over R^2ρA}\)
Tar vi n? kvadratroten av begge sider av likhetstegnet, oppn?r vi det ?nskede uttrykket for terminalhastigheten:
vt = \(\sqrt {2GMm \over R^2ρA}\)
Som nevnt i forrige innlegg, vil landeren v?r oppleve en sterk friksjonskraft n?r den flyr gjennom atmosf?ren, og er denne kraften for sterk kan det resultere i at hele greia rett og slett eksploderer. For ? redusere farten, og dermed friksjonskreftene, er landeren utstyrt med en fallskjerm (se figur 1). Hvor stort m? arealet av denne fallskjermen v?re for ? oppn? en terminalhastighet p? v = 3 m/s n?re overflaten av Skrukkla?s? Dette kan vi finne ut fra uttrykket for terminalhastigheten ovenfor, hvis vi setter A lik arealet til fallskjermen. Vi f?r da:
\(A = {2GMm \over ρR^2v^2}\)
Med verdier
G = 6,67 ? 10-11 m3kg-1s-2
M = 2,22 ? 1022 kg
mlander = 90 kg
R = 1067 km
ρ0 = 1.4 kg/m3
f?r vi at arealet til fallskjermen blir A = 18,5 m2. Ikke den st?rste fallskjermen, men heller ikke den st?rste planeten. Jeg er fullt klar over at likninger ikke alltid er det g?yeste ? lese, men h?per i hvert fall at du fant noe av dette interessant nok til ? ta med deg videre!
Vi blogges :-)