Som allerede nevnt betegner vi satellittkameraets oppl?sning ved P x P piksler, hvor i v?rt tilfelle P = 1000. I tillegg betegner vi synsfeltet, eller synsvidden om du vil, ved F? x F?, der F = 70?, som kjent fra tidligere (Se Skynet: Himmelretning).
Det jeg n? ?nsker ? finne ut av, er hvor stor (eller kanskje liten) avstanden mellom raketten og Skrukkla?s m? v?re for at kameraet p? raketten skal fange opp planeten i mer enn kun én eneste piksel. Avstanden fra raketten til planetens kjerne vil jeg heretter betegne som L. F?rst og fremst ser vi p? antall grader som vil dekke hver piksel, dvs. "vinkelst?rrelsen" til hver enkelt piksel i bildet. Denne blir:
φ = \({synsfelt \over piksler}\)= \({F \over P}\)
Vi kjenner radiusen til Skrukkla?s og avstanden til planeten. Avstanden L og radiusen R vil kunne skape to ortogonale linjer, alts? en rett vinkel. Trekker vi ogs? linja fra raketten til "toppen" av planeten, vil vi f? en rettvinklet trekant - og her kan vi bruke trigonometri! Vi har
tan θ = \({motst?ende \over hosliggende}\)= \({R \over L}\)
N? kan vi bruke et lite trigonometrisk triks. Vi har noe som heter "liten-vinkel-tiln?rming", eller litt mer fancy (og litt mer brukt); small-angle approximation p? engelsk. Dette er en forenkling vi kan gj?re som vil v?re mer eller mindre korrekt i grensen hvor en vinkel n?rmer seg null. For sm? vinkler kan vi nemlig skrive
tan θ = sin θ = θ
Beviset for at dette er som det er kommer av noe som heter Taylorrekka til en funksjonene. Dette er en m?te ? tiln?rme en funksjon som en rekke ved hjelp av bla. den deriverte av funksjonen. Dette krever en god del forklaring, forst?else og ikke minst matematikk, s? jeg skal heller bevise at dette stemmer ved hjelp av et par bilder. Her er det tydelig at n?r vinkelen n?rmer seg null, s? blir gapet mellom tiln?rmingen og den opprinnelige funksjonen (tan θ i v?rt tilfelle) s? og si usynlig:
N? lurer du kanskje p? akkurat hvor god denne egentlig tiln?rmingen er? Det kan vi ogs? beregne. For tangens til en vinkel f?r vi at den relative feilen overstiger 1% n?r vinkelen overstiger 10?. Skrukkla?s vil plukkes opp av kameraet n?r avstanden til planeten er myemye st?rre enn radiusen, og vi alts? f?r at L >> R. Dette betyr at vinkelen θ vil v?re veldig liten, og vi kan alts? bruke denne tiln?rmingen. Tankegangen er vist i figur 2.
Dette gir oss:
tan θ = θ = \({R \over L}\)
N? har vi to uttrykk ? jobbe utifra - vi har et uttrykk for vinkelst?rrelsen til en piksel, φ, og et for vinkelen planeten tar opp p? kameraet, θ. For at Skrukkla?s skal ta opp mer enn én piksel i bildet, s? m? vi ha at vinkelen den tar opp p? kameraet m? v?re st?rre enn antall grader synsfeltet utgj?r i hver piksel. Les den setningen en gang til, bare s?nn at du er sikker p? at du henger med. Det tok meg litt tid ogs?. Men da m? vi alts? ha at
φ > θ
Som gir
\({R \over L}\) > \({F \over P}\) ? L < \({RP \over F}\)
Fordi jeg n? har sett p? radiusen, R, til planeten, og ikke diameteren, 2R, vil vi ha at for L = RP/F vil én piksel v?re dekket av halve planeten, noe som vil si at hele planeten vil dekke to piksler (som er mer enn én). Setter vi n? inn verdien v?re (minner om at R = 1067 km), f?r vi
\(L = {{1067 km * 1000} \over 70}\)= 15236 km = 1524 mil
Dette betyr at f?rst n?r raketten er 1524 mil fra Skrukkla?s, vil planeten endelig bli synlig p? bildene. Syntes du dette h?rtes ut som et lavt tall? Det er det. Men husk at Skrukkla?s er en kn?ttliten planet, mindre enn visse andre planeters m?ner, s? s?nn sett gir dette tallet alts? mening. Jeg gleder meg til ? endelig f? noen ferske bilder av Skrukkla?s. Og n? ser det virkelig ut som om det snart kan bli en realitet! Vi har n? f?tt klarsignal fra nesten alle parter av teamet, og i l?pet av kort tid skjer det. I l?pet av kort tid flyter romfergen v?r gjennom rommet. Skulle nesten ?nske jeg kunne blitt med selv.. Men det f?r bli en annen gang!
Jeg har forresten d?pt henne. Katniss17. Om kort tid er Katniss17 p? vei mot Skrukkla?s. Oppdatering kommer snarest.
Vi blogges s? lenge