Som jeg var inne p? sist, vil jeg lage et interaktivt kart over solsystemet v?rt, slik at jeg har kontroll p? planetposisjonene over tid. Jeg har laget et problemtre som viser klatrestrategien min.
Hvis jeg kan m?le en startposisjon for planetene, kan jeg finne posisjonene generelt ved ? integrere hastighetene. Jeg vet selvf?lgelig ingenting om hastighetene heller, men hvis jeg kan m?le kun en starthastighet, kan jeg finne hastigheten overalt ved ? integrere akselerasjonen. Siden jeg kjenner alle massene, kan jeg fors?ke ? finne denne akselerasjonen ut fra kraftsummen p? hver planet.
Jeg har n? n?dd toppen av problemtreet mitt, og sp?rsm?let er om jeg klarer ? komme meg ned igjen like hel. Det er ingen garanti for det, selv om jeg har klatret lignende tr?r tidligere. For den helt uerfarne klatreren kan kanskje overgangene jeg gj?r virke litt umotiverte, men dette er et av de vanligste tr?rne man m?ter p? i fysikken.
Newtons koreografi
Vi kommer ikke unna Newtons lover n?r vi skal se p? fysikken som koreograferer den planetariske dansen i systemet v?rt.
Som s? ofte n?r vi er interessert i bevegelsen til noe, begynner vi med ? identifisere alle kreftene som spiller inn. Friksjon er ikke verdt ? snakke om n?r vi holder p? med planetbevegelse, og vi har bare gravitasjonskrefter vi m? tenke p?. Systemet v?rt har ?tte planeter og en stjerne, som i st?rre eller mindre grad p?virker hverandre gravitasjonelt. Vi kan se for oss den komplekse situasjonen vi har som noe slikt
hvor hver tr?d symboliserer en gjensidig tyngdekraft. Litt visdom fra min mor er at man alltid m? starte fra bunnen n?r man skal gre ut floker som denne.
For ? finne bevegelsen til en gitt planet, m? jeg finne ut hvor mye den blir dratt i ulike retninger til enhver tid. Newtons andre lov sier at summen av alle disse kreftene er lik produktet av massen og akselerasjonen til planeten.
\(\Sigma \vec F = m\vec a\)
Med andre ord; dersom vi kan finne alle disse kreftene, kan vi finne farstsendringen til planeten og ut fra dette si noe om hvordan posisjonen endrer seg. Jeg ser f?rst p? hjemplaneten v?r Muskus B. La oss bare anta at en realistisk kraftsituasjon ved et gitt ?yeblikk ser slik ut.
Vi har da
\(\sum \vec F = \vec F_{sol} + \vec F_c + \vec F_d + \vec F_e + \vec F_f + \vec F_g + \vec F_h + \vec F_i\)
N?kkelfrasen her er derimot et gitt ?yeblikk. For planetene beveger seg i forhold til hverandre, og kraftsituasjonen er n?dt til ? endre seg hele tiden. Dette blir voldsomt mye ? holde styr p? for enkle landm?lere som oss selv. La oss se litt n?rmere p? disse kreftene. Sjefskoreograf Newton har l?rt oss at gravitasjonskraften mellom to objekter med masse m og M i avstand r er
\(\vec F = \frac{GmM}{r^2} \hat r\)
G er en konstant, og inntil videre ganske uinteressant for oss. Det er derimot to ting verdt ? legge merke til.
1) St?rre masser gir sterkere kraft
2) St?rre avstand gir mye svakere kraft
For ? forst? konsekvensene disse punktene f?r i v?rt system, m? jeg dra fram litt data. Stjernen v?r Muskus A er, er tre st?rrelsesordener (\(10^3\) ganger) mer massiv enn den st?rste planeten Muskus H. Selv n?r vi summerer alle planetene, utgj?r de beskjedne 0,7% av massen i systemet.
Dette er det vi p? fagspr?ket kaller ei temmelig lita flis. De av dere med d?rligst oppl?sning kan kanskje ikke en gang se den. N?r det gjelder avstandene, kan jeg estimere disse slik som i figuren under.
Disse varierer selvsagt over tid, men vi kan likevel f? et visst inntrykk av st?rrelsesordenene det er snakk om. S? hva betyr disse tallene for oss? Vi husker at st?rre masse ga st?rre kraft, og st?rre avstand gir mindre kraft.
Vi kan se p? forholdet mellom kraften fra solen og en gitt planet. Vi kan for eksempel ta et ekstremt tilfelle, hvor man er ti ganger lengre vekk fra solen enn en gitt planet. Massen til solen er jo uansett minst tusen ganger st?rre, og vi f?r forholdet
\(? ? ?\frac{F_{sol}}{F_{planet}} = \frac{\frac{Gm_{sol} m}{r_{sol}^2}}{ \frac{Gm_{planet}m}{r_{planet}^2}} =\frac{m_{sol}r_{planet}^2}{ m_{planet}r_{sol}^2} = \frac{1 000m_{planet}\,r_{planet}^2}{m_{planet}\,(10r_{planet})^2} = 10\)
Kraften fra solen er alts? minst ti ganger st?rre enn kraften fra den n?re planeten, og som regel mer enn dette. Selv om enkelte planeter er n?rmere hverandre enn solen, vil likevel massen til solen overveie denne effekten. Derfor kan vi med god tiln?rming se helt vekk fra kreftene fra alle de andre planetene, og klippe noen tr?der i den opprinnelige problemstillingen v?r. Fra ? m?tte vite hvor mye alle planetene og solen drar oss avsted, trenger vi n? kun ? konsentrere oss om hvor mye solen drar oss i en retning p? et gitt tidspunkt.
S? var det denne lille detaljen om gjensidig kraft. For selv om vi kan neglisjere kreftene mellom planetene, kan vi ikke late som at Newtons 3. lov ikke er en ting. Kraft er lik motkraft, og det virker selvf?lgelig krefter fra planetene p? solen. Newtons andre lov gir for eksempel akselerasjonsbidraget fra Muskus B
\(a_{sol} = \frac{Gm_B}{r^2}\)
Dette er en veldig viktig detalj siden solens bevegelse vil p?virke kraften den har p? hver av planetene. Vi kommer da igjen inn p? masseforskjellene. Vi har etablert at massen til solen er minst tusen ganger st?rre enn massen til en gitt planet. Newtons andre lov, \(a = \frac{F}{m}\), forteller oss da effektivt at akselerasjonen m? v?re tusen ganger mindre, og det er mye vanskeligere ? endre bevegelsestilstanden til solen. Effekten er faktisk s? liten, at jeg trygt kan plassere solen i ro i origo, og fremdeles f? n?yaktige nok resultater for v?re form?l.
Jeg har tegnet inn et tredimensjonalt koordinatsystem over. I praksis er derimot solsystemet v?rt, som mange andre, ganske flatt. Hvorfor det er slik, er en interessant historie for en annen gang, kj?re leser. Vi kan uansett tiln?rme at alle banene foreg?r i ett og samme plan. Siden gravitasjonskreftene virker fra sentrum av massene, og ikke har noen komponent ut av dette planet, kan vi like s? godt ta med oss fysikken v?r, kaste 3D-brillene og flytte inn i en enklere, todimensjonal verden.
Vi begynner n? virkelig ? n?rme oss noe mer h?ndterbart. Med solen i ro i origo, og helt fysisk uavhengige planeter, har hver av dem en kraftsum og akselerasjon rettet mot origo. Vi er n? klare for integrasjonen.
Ta en verdi og la den vandre
Kraften fra solen p? en planet gir en akselerasjon
\(a_{planet}=\frac{GM_{sol}}{r^2}\)
Her har det oppst?tt noe jeg alltid h?per ? unng?. Jeg har riktignok uttalt at man alltid m? "nyte klatreturen opp problemtreet", men en akselerasjonen som er avhengig av posisjonen er rett og slett ikke alltid en hyggelig opplevelse. Mitt idealistiske, naive selv fra i g?r hadde nok ikke dette i tankene. Det gir jo mening, ettersom kraften vil peke i ulike retninger og ha ulik styrke etter hvor planeten er i banen sin. Dette gj?r derimot at det ikke er rett frem ? finne et utrykk for planetposisjonen.
Da jeg f?rste gang ble introdusert for slike notoriske differensiallikninger, var jeg lenge i fornektelse. Jeg klarte bare ikke ? akseptere at de var mulige ? l?se. For ? vite posisjonen beh?ver vi akselerasjonen, men for ? vite akselerasjonen trenger vi posisjonen.
Differensialer kan virke mystiske. Prinsipielt sett trenger vi likevel ikke mye komplisert matte for ? l?se bevegelsen for et lite tidsrom. Se for deg dette:
1) Jeg m?ler posisjonen \(r_0\) og hastigheten \(v_0\) til planeten ved en gitt tid.
2) Jeg bruker \(a = \frac{GM}{r_0^2}\) og finner akselerasjonen i denne posisjonen.
3) Ut fra akselerasjonen legger jeg til en liten hastighetsendring \(dv\).
\(a\,dt=\frac{dv}{dt}dt = dv \implies v=v_0 + dv\)
4) Ut fra denne nye hastigheten legger jeg til en liten posisjonsendring \(dr\).
\(v\,dt=\frac{dr}{dt}dt = dr \implies r=r_0 + dr\)
P? slutten av denne listen av operasjoner har jeg en ny posisjon og hastighet, og kan begynne p? nytt. Slik kan jeg fortsette i s? mange sm? tidsrom \(dt\) jeg vil.
Jeg er jo bare interessert i posisjonene mens jeg reiser, og trenger ikke en funksjon som er gyldig fram til d?den av solsystemet. Jeg kan ogs? f? det s? n?yaktig jeg vil, bare jeg velger sm? nok intervaller. N?r jeg er ferdig, har jeg en liste med posisjoner r. Dermed har jeg f?tt n?yaktig det jeg ville; en l?sning for posisjonen over et tidsrom. Hvis vi husker tilbake til partikkelboksen, s? er ikke situasjonene vi har her altfor ulik. Vi har et sett med utgangsposisjoner og -hastigheter, og ber maskinen bevege planeten videre ut fra noen bestemte premisser eller fysiske lover.
Ogs? i dette tilfellet er det selvf?lgelig b?de upraktisk og regelrett uaktuelt ? gj?re dette for h?nd. Den eneste grunnen til at jeg kan bruke denne enkle l?sningsstrategien, er at jeg har en datamaskin som kan kj?re en million ganger gjennom listen over f?r jeg i det hele tatt rekker ? hente meg en kaffekopp p? kj?kkenet. Kaffekoppen f?r jeg f?rst tid til n?r jeg ber maskinen gj?re nettopp dette for alle planetene. Jeg kan dermed ta et velfortjent slurp, mens jeg beundrer en figur enhver kommunal landm?ler hadde misunnet meg.
Det ser kanskje ut som noe jeg kunne tegnet i MS Paint. Og det er vell teknisk sett ikke noe jeg ikke kunne tegnet i MS Paint. Det er derimot ikke poenget, kj?re leser. Det er ikke poenget i det hele tatt. Jeg ville faktisk g?tt s? langt som ? si at det som ligger bak dette tilsynelatende primitive bildet er en av grunnpilarene i fysikk. Newtons lover har, uten videre, spyttet ut nydelige ellipser som forutsier planetenes dans. Hvis du ikke f?ler noe n?r du ser p? de fargerike kurvene mine er du en f?lelsesl?s sjel. Eller en ingeni?r. Men antageligvis begge deler.
Vi har dermed kommet oss helskinnet ned fra problemtreet v?rt og er i m?l med baneberegningene. Disse kommer godt med n?r jeg senere skal bestemme banen til raketten v?r.