Matematikk er – viser det seg – et spr?kfag.?
Litt rart for alle som har vokst opp med den strenge delingen mellom ?myke? humanistiske fag og ?harde? realfag i skole og utdanning.
– Matematikkens aller n?rmeste slektning er de naturlige spr?kene, som norsk, sier matematikkprofessor Snorre Christiansen ved Universitetet i Oslo.?
I sin nye bok Matematisk fundament har Christiansen tatt p? seg en nesten umulig oppgave: ? bryte matematikken ned til dens grunnleggende, grammatikalske bestanddeler, og bygge den opp fra bunnen av – stein p? stein, kun utfra ideer, symboler og logikk.?
Umulig fordi det viser seg at jo flere lag som skrelles av for ? finne matematikkens midtpunkt, desto st?rre fare er det for at vi blir st?ende med t?rer i ?yene p? jakten etter en kjerne.?
Er matematikken vitenskapens Peer Gynt? P? overflaten selvsikker og verdensvant. Men egentlig ikke mer enn en l?k?
– Paradokset er at hvis vi er s? presise i beskrivelsene v?re at det virker som vi har n?dd helt til bunns – da er det noe som forsvinner.?
Fortvil derfor ikke hvis du var blant dem som satt p? skolebenken og f?lte det var noe grunnleggende som gikk deg over hodet, og mistenkte at det samme gjaldt personen foran tavla; selv universitetsprofessorer i matematikk vet ikke hva matematikk dypest sett er.?
– Vi vet ikke hva vi snakker om, smiler Christiansen og legger kjapt til:?
– Men vi har i hvert fall klare regler for hvordan vi kan snakke om det. Det er mer enn de fleste.?
Skilpadder hele veien ned
Jakten p? matematikkens grunnstein kan derfor minne om den hinduistiske forestillingen om at verden hviler p? skallet til en skilpadde.?
En anekdote forteller at en akademiker en gang holdt et foredrag der han beskrev hvordan jorda g?r i bane rundt sola, som igjen roterer rundt midten av en enorm samling stjerner. P? slutten av forelesningen reiste en gammel dame seg og sa: ?Dette er bare tull. Verden hviler egentlig p? ryggen til en gigantisk skilpadde.? Akademikeren fulgte opp: ?Hva st?r s? skilpadden p??? ?Du er veldig smart, unge mann?, parerte den gamle damen. ?Men det er skilpadder hele veien ned!?
Dette problemet med uendelig regresjon har minst to konsekvenser for matematikere.?
– Det betyr at ethvert grunnlag for matematikken m? inneholde udefinerte konsepter. Og selv om vi presiserer hva grunnlaget er, forklarer vi ikke hvilken ramme vi bruker til det form?let. Norsk spr?k f?r v?re godt nok til det.?
?Vi ?nsker ? snakke om visse objekter?, og ?det vi kan si om disse objektene, uttrykkes som visse utsagn?, begynner derfor Christiansen noks? beskjedent i boka Matematisk fundament.?
– Vi er ikke i stand til ? definere hva et objekt eller et utsagn er. En tenkt definisjon ville inneb?re utsagn om objekter. Alts? ville definisjonen bruke de konseptene som defineres til ? definere dem.
Objektene, om enn udefinerte, kan samles sammen i nye objekter. Dette er opphavet til det matematikere kaller mengder. En mengde tolkes gjerne som samlingen av de objektene som har en gitt egenskap, men er alts? ogs? udefinert.
– Dette konseptet er s? naturlig for mennesker at det er vanskelig ? si n?r det oppsto. Blant de f?rste tingene som ble nedtegnet i skrift, var inventarlister, forteller Christiansen.
Det l?nner seg ? ikke v?re for godtroende i m?tet med mengder.?
– S?kalt naiv mengdeteori f?rer til paradokser. For eksempel; hvis vi tar mengden av alle mengder, s? vil den v?re element i seg selv. Akkurat det er ikke utelukket, men bare merkelig.?
Det blir verre.
– Tar vi s? mengden av alle mengder som ikke er element i seg selv, kan vi argumentere oss fram til at den er element i seg selv, hvis og bare hvis den ikke er element i seg selv.
– Ingen regel uten unntak, ikke sant?
– Alts? regler med unntak? Haha!?
Christiansen himler med ?ynene.?
– Gjerne for meg – men i s? fall raser hele det matematiske byggverket sammen.?
Mengdeparadokset – oppdaget av matematikeren og logikeren Bertrand Russell – f?rte til en krise i matematikken for godt over hundre ?r siden.?
Tanken er ikke ? si hva tall er, men ? vise hva vi kan gj?re med dem.
– Hvis vi tillater én eneste selvmotsigelse i matematikken, f?lger det at hvert utsagn er b?de sant og usant. Ingenting st?r igjen.?
Russells innvending ble etter hvert l?st i den forstand at mengdeteori ikke lenger tillater s? generelle mengdekonstruksjoner.?
– Ved ? n?ye spesifisere reglene for ? danne nye mengder, ble matematikere i stand til ? skape et grunnlag for moderne matematikk som er fri for paradokser som Russells, men likevel kraftfullt nok til ? beskrive den kjente matematikken.
Zenons paradoks
Matematikere er stort sett praktikere.?
– Tanken er ikke ? si hva tall er, men ? vise hva vi kan gj?re med dem. Vi p?st?r at 0 er et naturlig tall, og at hvert naturlige tall n har en s?kalt etterf?lger n+1. Hele teorien for de naturlige tallene er bygget opp av denne s?kalte etterf?lgerfunksjonen.?
Hvis vi ser for oss at vi aldri slutter ? legge til tall, n?rmer vi oss en forst?else av det magiske ?tallet? uendelig.
En av ?rsakene til at Christiansen og generasjoner av kolleger har laget disse reglene, er nettopp at de ?nsker ? kunne snakke om uendelighet.?
– Begrepet gir oss et veldig kraftig verkt?y for ? snakke om det endelige. Vel s? viktig er det at vi ved hjelp av dette begrepet kan begynne ? ane helt nye verdener. Uendelighet er spektakul?rt.
Heller ikke her kommer vi utenom skilpadder. Den gamle grekeren Zenon s? for seg at han lot en skilpadde f? et forsprang p? den legendariske krigeren Akilles i et kappl?p. Uansett hvor rask han var, ville mannen med de utsatte h?l-senene aldri klare ? ta igjen skilpadden, hevdet Zenon. Idet Akilles hadde tatt inn halve avstanden, ville nemlig skilpadden ha beveget seg et stykke lenger. Det hjelper ikke at Akilles tar igjen halvparten av denne distansen ogs?. Skilpadden vil alltid ligge foran.?
Dette virker vanntett for oss lekfolk – de gamle grekerne ville kanskje kalt oss idioter – samtidig som vi ?vet? at Akilles ikke ville brukt lang tid p? ? ta igjen krypdyret.?
– Hvordan kan det presise, matematiske spr?ket med dets mange definisjoner hjelpe oss ut av denne knipa?
– I Matematisk fundament ville jeg fortelle historien fra de logiske premissene og nettopp fram til summering av uendelige rekker. Poenget med Zenons paradoks er at endelige tidsintervaller godt kan deles opp i uendelig mange delintervaller.
Det er det n?rmeste vi kommer et svar p? paradokset innenfor rammene av en popul?rvitenskapelig tekst.
– Alle som hadde veddet i dette spennende kappl?pet, kunne n? ta ut sin gevinst. Men forholdet mellom det diskrete – tellbare – og det kontinuerlige blir nok aldri ferdig studert.
Jeg har et h?p om at leseren skal f? en f?lelse av at en platonsk verden faktisk eksisterer.
?
L?gnerens paradoks
Se for deg at du er midt i en samtale og den andre parten sier ?jeg lyver?. Kan man da anta at det stemmer at vedkommende snakker usant?
Anta p? samme m?te at en luring taster ned denne formuleringen: ?Denne setningen er usann?.
– En slik setning kan verken v?re sann eller usann. Det kan v?re forn?yelig ? leke med spr?ket p? den m?ten. Men dette er et eksempel p? en type utsagn vi ikke kan tillate i v?rt matematiske spr?k.
Noen ?r etter at briten Bertrand Russell hadde sendt matematikken ut i krise, var det for rundt 90 ?r siden ?sterriksk-amerikanske Kurt G?dels lodd ? vise matematikerne at selv om de klarer ? lage et system uten selvmotsigelser, vil de aldri kunne klare ? bevise at motsigelsene ikke fins.
– Igjen er vi alts? der at vi m? sp?rre: hva er det vi kan vite med sikkerhet, hva er sant?
– Interessant nok bakte G?dels argument inn det ovenfornevnte l?gnerens paradoks. Kjente matematikere som de gruppen i Bourbaki har resignert seg til at selv om vi ikke kan bevise at v?rt fundament ikke har selvmotsigelser s? kan vi konstatere det.
De postulerer ogs? at selv om vi i fremtiden skulle oppdage kimen til en selvmotsigelse i v?re n?v?rende argumenter s? vil dette la seg fikse relativt enkelt.
– Litt lettvint kanskje? P? en annen side kjenner jeg ingen som er spesielt bekymret av dette.
Maner fram Platons verden
Selv om vi har sl?tt fast at ?det er skilpadder hele veien ned?, klarer ikke matematikere som har sittet i timer, dager, uker, m?neder og ?r omsluttet av det matematiske spr?ket, ? unng? f?lelsen av at det de studerer, er helt reelt.
– Det kommer en f?lelse av at de matematiske objektene vi har klart ? beskrive s? presist, faktisk fins.?
Igjen er vi alts? der at vi m? sp?rre: hva er det vi kan vite med sikkerhet, hva er sant?
Siden vi allerede har bes?kt Zenon i antikkens Hellas, passer det ? vie en visitt til hans samtidige, Platon. Filosofen som l?rte av Sokrates og til Aristoteles, mente det fantes en verden av rene ideer, som mennesket bare kunne observere avskygningen av.?
Matematikere er – viser det seg – ikke bare praktikere.?
– Ved ? systematisk vise hvordan alt henger sammen, s? har jeg et visst h?p om at leseren ogs? skal f? en f?lelse av at en platonsk verden faktisk eksisterer.?
Har vi her ? gj?re med en vaskeekte idealist, noe s? sjeldent som en platoniker?
– Ja, jeg vil si jeg er en platoniker som bruker det meste av sin tid p? presis, matematisk logikk – alts? p? syntaksen vel s? mye som p? semantikken.?
Troen p? ideene er motiverende.
– Jeg hadde nok ikke klart ? gj?re denne jobben hvis jeg ikke hadde intuisjon p? at disse tingene p? en eller annen m?te eksisterer. F?lelsen er jo nesten den at man som matematiker f?r skape noe reelt s? ? si ut av intet, kun ved hjelp av spr?ket.
Det tapte paradis
Som mesterne av naturlige spr?k kunne mane fram Odyssevs reiser og Elizabeth Bennetts sjelekvaler, kan vi, hvis vi ?snakker matematikk? korrekt, la det minste utgangspunkt f?re oss langt av sted p? store eventyr.
– Alt annet i det matematiske universet hviler p? dette enkle fundamentet: gigantiske matriser, endel?se polynomer eller la oss si representasjoner av reduktive grupper over endelige kropper, for de som er heldige nok til ? vite hva det betyr, erter Christiansen f?r han til slutt tillater seg ? bli litt h?ystemt.?
– Disse matematiske verdenene vi maner fram ved v?r tankes kraft, er de ikke skapt i v?rt bilde? Og fremst?r ikke da matematikk som en meditasjon over selvet og v?ren? Er det ikke et s?k etter ? gjenforenes med den perfekte kunnskap, det tapte paradis?
?
Forventer ikke ro i sjelen
Kunstig intelligens utfordrer matematikere p? helt nye m?ter, mener
professor Snorre Christiansen.
– Vi opplever at et fenomen vi f?ler vi st?r bak, n? sl?r tilbake p? oss. Kunstig intelligens (KI) er jo et 澳门葡京手机版app下载 mellom matematikk og informatikk.
– P? hvilken m?te sl?r det tilbake?
– Innad i fagfeltet er sp?rsm?let om KI vil skape bedre matematikk enn det vi gj?r
selv. Eller om vi blir n?dt til ? 澳门葡京手机版app下载e med en KI i fremtiden for ? n? forskningsfronten?
Og ikke minst:
– Hva gj?r det med v?r hjertekj?re verdi?forst?else?
Matematikere har alltid f?lt at jobbene deres er trygge.
– Vi tar det som en selvf?lge. Alle vitenskaper og teknologier er gjennomsyret av matematikk. Og vi f?ler en sterk tilfredsstillelse ved ? oppdage nye sannheter som selvf?lgelig skal deles.
Dette er et fagfelt som peker langt ut over seg selv og som er en premissleverand?r for store deler av samfunnet.
– Slik tenker nok de fleste matematikere om v?r eksistensberettigelse, men n? blir vi n?dt til ? g? litt mer i detalj og faktisk tenke gjennom verdiene v?re. Tar vi tilstrekkelig inn over oss at v?re oppfinnelser vil leve sitt eget liv, bestemt av andre samfunnsakt?rer, i andre kontekster??Og hvordan forholder vi oss til at v?r oppfinnelse p?virker ikke bare en industri, men hele samfunnet?
Han mener kinofilmen Oppenheimer viser tydelig fram noen av de etiske dilemmaene vitenskapsfolk kan m?te.
– Mens noen matematikere har v?rt dypt engasjert i krigf?ring, har andre v?rt sterke motstandere av 澳门葡京手机版app下载 med det milit?rindustrielle komplekset.
Det fins ingen generelle, etiske retningslinjer for matematikere, à la den hippokratiske ed for medisinere.
– Hver enkelt st?r fritt til ? avgj?re slike sp?rsm?l. For meg handler Oppenheimer om at vitenskapsfolk ikke b?r forvente heder, ?re og ro i sjelen av ? snu opp ned p? v?re
tilv?relser.