– Hele ideen er ? l?se en oppgave ved ? bruke s? f? m?linger som mulig. I de tilfellene der datainnsamlingen er kostbar, kan det fort l?nne seg ? satse p? den nye matematikken, forteller professor Anders Malthe-S?renssen p? Fysisk institutt ved Universitetet i Oslo. Han ble heltent da han ved en tilfeldighet h?rte et foredrag av Tao for noen ?r siden. Tao regnes i dag som en av verdens aller fremste matematikere. Han var bare 24 ?r da han, som tidenes yngste, ble professor i matematikk p? Universitetet i California for femten ?r siden. Teorien hans vekker n? interesse blant matematikere verden over.
Stipendiat Andreas Solbr?, som har bakgrunn b?de i matematikk, fysikk og beregningsteori, er den f?rste ved Universitetet i Oslo som har tatt teorien hans i bruk.
– Du kan f? mye mer informasjon enn du tror fra hver m?ling, s? lenge du gj?r m?lingene p? en veldig lur m?te.
For ? illustrere ideen om hvordan det er mulig ? gjennomf?re s? f? m?linger som mulig, trekker Solbr? frem denne klassiske n?tten fra selskapslivet: Du har tolv mynter foran deg. De ser helt like ut, men den ene er falsk. Den falske veier enten mer eller mindre enn de andre myntene. Du skal bruke en sk?lvekt til ? l?se oppgaven. De fleste av leserne klarer ? finne den falske mynten med fire eller fem veiinger. Utrolig nok er det ogs? mulig ? l?se oppgaven med tre veiinger. Pr?v selv! Se svaret nederst i denne reportasjen.
Det er nettopp dette prinsippet om f?rrest mulig m?linger som er ideen til den australske matematikeren.
– Med Compressed sensing kan du matematisk beregne alt det du ikke m?ler.
Raskere sykehussjekk
Metoden, som er sv?rt regnekrevende, kan blant annet brukes til ? redusere antall m?lepunkter i en MR-unders?kelse til en sjettedel. Det betyr at MR-bilder kan tas seks ganger raskere enn i dag. Det amerikanske sykehuset Lucard Packard Children Hospital i Stanford testet metoden med hell for noen ?r siden. Trikset deres var ? velge ut m?lepunktene i MR-scanningen p? en lur m?te.
MR-maskiner er sv?rt dyre. En enkelt maskin koster mellom ti og tjue millioner kroner, avhengig av teknologi og programvare. En MR-unders?kelse varer mellom ti minutter og en time, avhengig av hva det letes etter, if?lge MR-fysiker Oliver Geier p? Intervensjonssenteret ved Oslo universitetssykehus.
– En enkel unders?kelse av et kne tar ti minutter. En kreftsjekk kan ta over en time, forteller Geier. Samfunnsbesparelsene kan bli store om det er mulig ? redusere unders?kelsestiden til en sjettedel.
– Da kan sykehusene unders?ke seks ganger s? mange pasienter uten ? kj?pe inn nye maskiner og ?ke bemanningen. Det er ogs? grunn til ? tro at den nye matematiske metoden kan redusere str?ledosen fra CT-unders?kelser med fem sjettedeler. Resultatene blir likevel gode nok, p?peker Solbr?.
CT-maskiner er ikke bare dyre. Dagens CT-scanning medf?rer like mye str?ling som ti ?rs naturlig bakgrunnsstr?ling.
Selv om Compressed sensing kan revolusjonere medisinsk diagnostikk, er metoden lite kjent.
– De fleste sykehus har nok enn? ikke h?rt om dette, mener Solbr?.
Metoden har et lite aber. For ? kompensere de manglende m?lingene, m? man bruke mer tid p? beregningene.
– I dag kan legene analysere de medisinske bildene med én gang. Med Compressed sensing trengs det beregninger p? datamaskinen f?r resultatet er klart.
De som skal implementere Compressed sensing i medisinsk diagnostikk, m? v?re sv?rt gode i b?de matematikk og beregningsteori. Helsepersonellet beh?ver likevel ikke bekymre seg.
– Matematikken er en engangsjobb, beroliger Solbr?.
Billigere oljeleting
Den nye matematiske metoden kan ogs? f?re til store besparelser i oljeindustrien. Oljegeologene er avhengige av seismiske m?linger. I seismikk sendes lydb?lger ned i bakken.
Lydb?lgene reflekteres i de ulike sedimentlagene og fanges opp av mikrofoner p? overflaten.
– Seismikk er sv?rt kostbart. Med Compressed sensing kan vi n? samle inn f?rre datapunkter og likevel f? like god informasjon, p?peker Anders Malthe-S?renssen.
I Norge er bare et f?tall forskere kjent med teorien. Solbr? mener mange forskere vil kunne dra nytte av den nye metoden n?r de har skj?nt hva den g?r ut p?.
Komplekst
– Compressed sensing en spennende metode for ? redusere opptakstiden p? MR-unders?kelser.
Metoden er ganske lenge blitt testet ut p? MR, uten at den har f?tt stor utbredelse. Dette skyldes muligens kompleksiteten i rekonstruksjonen, forteller professor i MR-fysikk, Atle Bj?rnerud, som b?de er tilknyttet Intervensjonssenteret p? Rikshospitalet og Fysisk institutt ved UiO.
Oliver Geier p? Intervensjonssenteret har ikke testet Compressed sensing selv, men p?peker at metoden er under utvikling. En av produsentene av MR-maskiner har allerede implementert metoden, men den nye avbildningsteknikken er forel?pig bare godkjent til forskningsbruk.
– Compressed sensing kan gj?re det mulig ? f? flere pasienter igjennom systemet p? kortere tid. Om metoden er effektiv er avhengig av om de bildene som tas, har egenskaper som tillater komprimering, poengterer Oliver Geier.
P.S.
Her er l?sningen p? oppgaven om hvordan du bare beh?ver ? bruke tre veiinger p? sk?lvekt for ? finne den falske mynten blant tolv mynter og attp? til sl? fast om den falske mynten er lettere eller tyngre enn de ekte myntene.
M?ling 1: Legg fire mynter p? hver av de to sk?lvektene. Hvis myntene veier like mye vet du at de ?tte myntene er ekte og at den falske mynten er blant de fire siste myntene. Hopp til alternativ B.
Hvis den ene siden veier mer enn den andre siden vet du at den falske mynten er blant de ?tte myntene.
Definer myntene p? den tyngre siden som T og myntene p? den lette siden som L.
M?ling 2: Vei myntene TTL p? venstre sk?lvekt og TTL p? h?yre sk?lvekt. For ? skille mellom myntene p? venstre og h?yre side kan du definere myntene p? venstre side som TvTvLv og myntene p? h?yre side som ThThLh.
Hvis venstre side peker ned, kan den falske mynten enten v?re Tv, Tv eller Lh.
Hvis venstre side peker opp, kan den falske menten enten v?re Th, Th eller Lv.
M?ling 3: I tilfelle venstre side peker ned kan du i tredje m?ling sammenligne vekten mellom Tv og Tv. Hvis de veier like mye er Lh falsk. Hvis de ikke veier like mye, er den tyngste av de to Tv-ene falsk.
I tilfelle venstre side peker ned kan du i tredje m?ling sammenligne vekten mellom Th og Th. Hvis de veier like mye er Lv falsk. Hvis de ikke veier like mye, er den tyngste av de to Th-ene falsk.
I tilfelle TvTvLv veier like mye som ThThLh, vet du at den falske mynten befinner seg blant de to andre myntene, definert som L, i den f?rste m?lingen. Sammenlign den ene L-mynten med en normal-mynt. Hvis den er lettere, er denne L-mynten falsk. Hvis den er like tung, er den andre L-mynten falsk.
Alternativ B:
M?ling 2: Du vet n? at den falske mynten er blant de fire uveide myntene. De andre myntene, som alts? er ekte kan n? defineres som N (Normal-mynt). De uveide myntene kan kalles for X1, X2 , X3 og X4.
Vei X1X2X3 mot NNN
M?ling 3: Hvis X1X2X3 veier mindre enn NNN er den ene X lettere enn de andre. Vei X1 mot X2. Hvis de veier like mye er X3 falsk. Hvis de ikke veier like mye, er den letteste av X1 og X2 falsk.
Hvis X1X2X3 veier mer enn NNN er den ene X tyngre enn de andre. Vei X1 mot X2. Hvis de veier like mye er X3 falsk. Hvis de ikke veier like mye er den tyngste av X1 og X2 falsk.
Hvis X1X2X3 veier like mye som NNN, er X4 falsk. For ? vite om X4 er for lett eller for tung kan du veie X4 mot en normal-mynt.