Geir Dahl , professor i anvendt matematikk p? Centre of Mathematics for Applications (CMA) ved Universitetet i Oslo, har utviklet en helt ny matematisk optimeringsmetode med det han kaller sv?rt interessante anvendelsesmuligheter.
Selv om denne og mange andre optimeringsmetoder er publisert i vitenskapelige tidsskrifter og dermed er tilgjengelige for offentligheten, har ingen i det kommersielle Norge tatt disse metodene i bruk.
– I Sverige har man v?rt mye flinkere enn i Norge. Et svensk firma har funnet en nisje i optimeringsteori. Her lages systemer som optimaliserer ruteplanlegging og arbeidsskift for store flyselskaper. I Norge driver ingen konsulentfirmaer med optimering, beklager Geir Dahl.
De nye matematiske metodene kan brukes til langt mer enn ?konomiske gevinster i flyselskaper. Metodene er ogs? velegnet til ? ?ke ressursutnyttelsen i mobilnettet, for ? optimere trafikken p? verdensveven, finne den korteste veien mellom to geografiske punkter og til ? tolke satellittbilder og medisinske bilder fra kroppens indre.
Diskret optimering
For ? f? bukt med problemene m? man l?se det professor Geir Dahl kaller diskret optimering. Optimering er et stort og viktig omr?de i matematikken hvor man ved hjelp av metoder finner maksimums – og minimumsverdien til funksjoner. I diskret optimering har man den begrensning at svarene ikke kan splittes opp i mindre stykker.
For ? forst? nyansen mellom optimering og diskret optimering kan du tenke deg diett-problematikken. Du kan velge mellom mange varer i en dagligvareforretning, men ?nsker ? betale minst mulig for varene som dekker n?ringsbehovet ditt. Du bryr deg alts? ikke om smaken. Det eneste som teller er prisen. Hvis det er mulig ? kj?pe n?yaktig kvanta av hver vare, slik som 0,14 liter melk, har du et optimeringsproblem med kontinuerlige variabler.
Men hverdagen er ikke s? enkel. I praksis kan du ikke splitte opp varene i mindre enheter. Du m? velge mellom halvliters – og literskartonger. Da har matematikerne et problem som kalles et optimeringsproblem med diskrete variabler.
Smart for nett
Slike optimeringsproblemer har blant annet interessante anvendelser i nettverk, slik som telenettet. Telenettene har et endelig antall sentraler og forbindelseslinjer. N?r kundemassen ?ker og et teleselskap skal utvide nettet, m? det bygges nye forbindelser. Men teleselskapet har bare muligheten til ? kj?pe kapasitet i hele blokker og enheter. De m? derfor tenke diskret optimering.
En av doktorgradsstudentene til Geir Dahl, Nj?l Foldnes , har sett p? optimeringsproblemene i mobilnettet. Problemstillingen er h?yaktuell. Mobilbruken ?ker kolossalt, og det kan oppst? kapasitetsproblemer n?r flere ringer samtidig. I byene har mobilbrukeren ofte dekning til flere basestasjoner. For ? f? den optimale utnyttelsen er det derfor ikke tilfeldig hvilken basestasjon mobilbrukeren b?r kobles til.
– S? allokeringsmekanismene er interessante og viktige. Er forbindelsene satt opp uheldig, kan man tenke seg lite hensiktsmessige allokeringer. For ? f? igjennom mest mulig trafikk m? mobilene allokeres til basestasjonene p? en optimal m?te.
Selv om den matematiske metoden finnes, m? den tilpasses mobilnettet.
– Metoden er ikke testet i realistisk sammenheng. Men vi er veldig interessert om noen gj?r det. Som forskere er vi interessert i matematiske studier. Vi gj?r forenklinger. Fokuset v?rt er p? den matematiske strukturen. S? kan andre ta tak i metodene.
Selv om den matematiske metoden kan ?ke kapasiteten i telenettet, m?ter Geir Dahl forbausende liten interesse i telekom-bransjen.
– Telekom-bransjen i Norge har en sterk vridning mot business og mindre p? de tekniske problemene. Dette gjelder hele bransjen. Metodene v?re kan ?ke kapasiteten betydelig i dagens data- og mobilnett. Vi snakker om mer enn ti prosent. S? potensialet er stort, sier han.
Legehjelp
Ogs? medisinerne kan f? glede av diskret optimering. Den nye metoden kan brukes til ? forbedre digitale bilder fra unders?kelser gjort med ultralyd, MR, magnetisk resonans som gir gode snittbilder av kroppen og CT som lager skivebilder av kroppen med r?ntgenanalyse.
Problemet er at slike digitale bilder ofte har fordreininger og avbildningsfeil. Det gj?r bildene gr?tete.
– Sammen med en statistiker har vi utviklet nye metoder i medisinsk bildeanalyse og satt dem sammen p? finurlig vis. Metoden v?r kan korrigere feilen. Metoden er spesielt vellykket for MR-bilder.
Metoden best?r i ? vise bildet i f? farger, der fargene beskriver ulike vevstyper som benstruktur, fett, blod?rer og svulster.
– Vi har laget en matematisk funksjon som representerer balansen mellom n?rhet til observert bilde og utglatting for ? f? frem tydeligere skiller i diffuse bilder med mange fargetoner. Dette er hjelp for legene som ?nsker ? fremheve de enkelte organene i et ryddigere bilde.
Forel?pig har ingen tatt i bruk metoden, men Geir Dahl har kontakt med Intervensjonssenteret p? Rikshospitalet.
Den samme metoden kan ogs? brukes til ? analysere satellittbilder hvis man ?nsker ? fremheve skillelinjene med f? farger.
Matematisk knep
Rent matematisk l?ser Geir Dahl de diskrete optimeringsproblemene med det han kaller polyedrisk kombinatorikk .
Ideen med polyedrisk kombinatorikk er ? transformere vanskelige matematiske problemstillinger til en geometrisk form der det finnes effektive matematiske l?sningsmetoder. Eller for ? si det p? en annen m?te:
– Det ? analysere den matematiske strukturen til polyedre er viktig for ? finne en effektiv metode for ? l?se det opprinnelige problemet.
Fordelen med et polyeder er at matematikerne da har tilgang til de beste matematiske verkt?y som finnes.