Ringer
La oss begynne med aritmetikken. For ? telle kofferter i bagasjen eller jordb?r p? tallerkenen eller sandkorn p? en strand, bruker vi tall, de naturlige tallene 1, 2, 3, osv. Vi kan legge dem sammen, og multiplisere, og hvis vi dessuten f?yer til 0 og de negative tallene, kan vi ogs? trekke fra. Da f?r vi de hele tallene : ..., -1, 0, 1, 2, ... Samlingen av alle de hele tallene kalles en ring. Her betyr en ring en samling av elementer som er knyttet sammen p? en bestemt m?te. Denne ringen har et navn: den heter Z, for ?Zahlen?(tall).
Ring: Samling av elementer som er knyttet sammen p? en bestemt m?te.
Z-ring: Samling av hele tall (Z for tysk Zahlen )
Q-ring: Samlingen av alle br?ker (Q for quotients )
R-ring: Samlingen av reelle tall (R for real )
C-ring: Samlingen av komplekse tall (C for complex)
"Nye" ringer: S-ring, K-ring (K-teori), J-ring (J-teori)
Noen ganger m? man dele tretten jordb?r p? to barn, og da f?r man behov for br?kregning. Samlingen av alle br?ker, s? som 13/2 eller 22/7 kalles ringen av rasjonale tall, og den har navnet Q, for ?Quotients?.
Noen ganger fors?ker man ? m?le en st?rrelse, for eksempel forholdet mellom omkretsen og diameteren i en sirkel. Da er svaret et sted mellom 3.1 og 3.2, og et sted mellom 3.14 og 3.15, og mer presist kan svaret gis som et desimaltall med uendelig mange desimaler: pi = 3.1415926 ... Samlingen av alle desimaltall, s? som kvadratroten av 2 = 1.4142135 ... eller pi, kalles ringen av reelle tall. Den har navnet R, for ?Real?.
Og selv om kvadratroten av 2 er gitt som et desimaltall, s? er ikke -1 kvadratet av noe slikt tall. S? man tilf?yer et nytt tall ?i?, lik kvadratroten av -1, og ser p? komplekse tall p? formen z = x + iy, der x og y er reelle tall. Ringen av komplekse tall kalles C, for ?Complex?.
I klassisk algebra er Z den f?rste og fremste ringen. Alle andre ringer, s? som Q, R og C, kommer etter Z i den forstand at et helt tall i Z alltid har et bilde, eller en representant, i enhver annen ring. For eksempel kan det hele tallet 3 oppfattes som br?ken 3/1, eller som desimaltallet 3.0, eller som det komplekse tallet 3 + i.0.
Nye tallsystemer
S? kommer vi til geometrien. De matematikerne som driver med den typen geometri og romforst?else som heter topologi, kalles topologer. I det 20. ?rhundre har de kommet over nye eksempler p? samlinger av romlige objekter som oppf?rer seg som tallsystemer, dvs. som er ringer. I hvert fall nesten. De er bare litt mer generelle enn ringer i algebraisk forstand. Men de gir opphav til en helt ny flora av nye og uvante tallsystemer, som ikke tidligere har v?rt utforsket. Kanskje heller ikke dr?mt om.
Det f?rste eksempelet p? en slik ?ny ring? kalles sf?respekteret og heter S. Denne nye ringen S har i seg selv en geometrisk form, s? vi bruker et romlig spr?k og snakker om tallene i S som punkter, heller enn som elementer i ringen. Et punkt i S er da per definisjon en avbildning fra en sirkel til seg selv, eller en avbildning fra en kuleflate til seg selv, eller mer generelt fra en d-dimensjonal sf?re til seg selv, der dimensjonen d kan v?re vilk?rlig stor.
Et annet eksempel p? en slik ?ny ring? kalles topologisk K-teori og heter K. [Hvorfor ?K?? Vi siterer fra portrettintervjuet med Rognes i Apollon nr. 2/2000: ?K er den siste bokstaven i navnet til Alexandre Grothendieck, som brukte K for det tyske ordet ?Klassen? som navn p? en sentral matematisk konstruksjon.? Red. ] Igjen har denne ringen K en form, og best?r av punkter. Ett slikt punkt er en parametrisert familie av linjer, eller plan, eller h?yeredimensjonale vektorrom. Et eksempel: En linje som dreies i rommet til den er kommet tilbake til utgangspunktet, men pekende i motsatt retning. Dette er et punkt i K, alts? et nytt tall, som heter eta. Da er eta + eta lik 0, for dreier man linjen to halve runder, er man (essensielt) tilbake til utgangspunktet.
Et tredje eksempel p? en ?ny ring? kalles J-teori, heter J og er konstruert fra K ved ? ta hensyn til de interne symmetriene i K.
Disse nye ringene, s? som S, K og J, detroniserer de hele tallene Z fra rollen som den f?rste og fremste ringen. I stedet er sf?respekteret S den nye f?rste og fremste ringen, og det er punktene i S som har bilder, eller representanter, i alle andre ringer.
I stedet for ? lage nye ringer som kommer etter Z, ved ? f?ye til nye tall som ikke var med f?r, g?r alts? den siste utviklingen den andre veien. Man lager ringer som kommer foran Z, ved ? erstatte hvert gammelt tall, som bare bestod av ett element, med en romlig figur best?ende av mange forskjellige, nye tall. For eksempel er det en uendelig samling av punkter i sf?respekteret S som alle sammen representerer ett og samme hele tall. Men i S er de forskjellige; alts? har det ene gamle, hele tallet est opp til en romlig form med mange forskjellige nye tall inne i seg.
Stormen
Disse nye tallsystemene ble d?pt ?Brave New Rings? av professor Friedhelm Waldhausen, i et foredrag ved Northwestern University i 1988. P? norsk kan vi kalle dem ?vidunderlige nye ringer?. Navnet refererer til Aldous Huxleys dystopi ?Brave New World?, som igjen refererer til William Shakespeares skuespill ?Stormen? [1]. Her blir hertug Prospero av Milano utsatt for et kupp av sin bror Antonio og strandet p? en ?de ?y sammen med sin unge datter Miranda. Mange ?r senere driver en storm broren Antonio og hans menn til skipbrudd p? samme ?y. Miranda, som ikke husker andre mennesker enn sin far, gleder seg i ungdommelig begeistring over oppdagelsen av at det finnes s? mange flere mennesker i verden. Den mer erfarne Prospero er atskillig mer tilbakeholden i sin begeistring.
Likeledes er matematikerne n? konfrontert med en ny verden av tallsystemer, eller ringer. Noen av oss er entusiastisk begeistret, med h?p om uanede nye muligheter for hva vi kan oppn? med de nye tallene. Andre er mer skeptiske og vil f?rst overbevises om at gamle fiender n? virkelig angrer sine synder.
La meg gjennom en ekskurs tilby matematikere en idé om hva som kan oppn?s med ?Brave New Rings?:
Topologiske modul?re former
En elliptisk modul?r form over Z er en algebraisk funksjon p? moduli-rommet av isomorfiklasser av elliptiske kurver. Tilsvarende kan man gi mening til elliptiske modul?re former over S, og avbildningen fra S til Z gir en avbildning fra modul?re former over S til modul?re former over Z. Dette er en isomorfi vekk fra 2 og 3, men avbildningen har en kjerne og en kokjerne som inneholder 2- og 3-torsjon. For eksempel er diskriminanten Delta en modul?r form over Z som ikke er topologisk, dvs. ikke er i bildet fra de modul?re formene over S. Men 24 ganger diskriminanten er topologisk.
Et gitter har en theta-funksjon, som er et eksempel p? en slik modul?r form over Z. Professor Richard E. Borcherds (som fikk Fieldsmedaljen i 1998) har vist at for et jevnt unimodul?rt gitter oppfyller denne theta-funksjonen visse kongruenser [2]. Dette er nettopp de kongruensene som sier at theta-funksjonen til et jevnt unimodul?rt gitter er topologisk, dvs. at den kan defineres som en modul?r form over S. Dette kan oppfattes som at modul?re former over S er et naturlig sted for ? studere visse dypere fenomener i aritmetikken.
Topologiske Galois-grupper
Et av de mest ber?mte ul?ste problemer i matematikken er Riemann-hypotesen om primtallenes fordeling. André Weil (1906-1998) har til og med publisert et hint: Han ?nsker ? realisere en s?kalt idele-klassegruppe som Galois-gruppen til en passende kroppsutvidelse [3].
Dette har vist seg ur?d ? gjennomf?re innenfor rammen av klassiske ringer. Men det finnes en Galois-teori (etter ?variste Galois (1811-1832) for utvidelser av ?Brave New Rings?, som gir nye eksempler og nye muligheter for ? realisere grupper som slike Galois-grupper. For eksempel er J -> K en Galois-utvidelse med egenskaper som minner om syklotomiske utvidelser i tallteori, men likevel er usynlig for klassisk algebra.
Det er for optimistisk ? tro at denne nye begrepsutvidelsen umiddelbart vil l?se utrolig vanskelige klassiske problemer, slik som Riemann-hypotesen, men den ?pner for et bredt spekter av nye muligheter. Fremtiden vil vise hvor vidunderlige de er.
Referanser
?
- W. Shakespeare: ?Stormen?, gjendiktet av André Bjerke, Aschehoug, 1995.
- R. Borcherds: ?Automorphic forms on Os+2,2(R) and infinite products?, Invent. Math., 120 (1995), 161-213.
- A. Weil: ?Sur la Théorie du Corps de Classes?, J. Math. Soc. Japan, 3 (1951), 1-35.