En haug med appelsiner, én kasse: Hvordan f? flest mulig appelsiner ned i kassen? Fysikerne har eksperimentert, observert og konkludert og funnet ut at den tetteste pakkingsgraden oppn?s ved ? legge appelsinene i et sekskantet m?nster – hver appelsin i det f?rste laget blir omgitt av seks andre. S? legges hvert nye plan appelsiner i fordypningene i det forrige. For matematikerne er ikke svaret s? enkelt. Det er ikke framsatt noe bevis for at det ikke finnes en m?te ? pakke appelsinene p? som legger dem enda tettere. Det som for en fysiker er sikker kunnskap, er for en matematiker fortsatt bare en antakelse – om enn en sv?rt sannsynlig antakelse.
Matematikkens strenge krav til bevisf?rsel gj?r det ekstremt vanskelig ? flytte grensesteiner i faget. Det eldste av de sju n?ttene som Clay Mathematics Institute utforder skarpe hjerner til ? knekke, stod p? en liknende liste p? 23 problemer som David Hilbert offentliggjore ganske n?yaktig hundre ?r tidligere. Riemann-hypotesen, som hvis den er sann, vil gi enorme kunnskaper om primtallenes innerste vesen, har motsatt seg ? bli endelig bevist helt siden den ble satt fram p? midten av 1800-tallet.
Penger ingen drivkraft
Det er ikke vanskelig ? finne matematikere p? Universitetet i Oslo som kjenner til alle sju problemene – som spenner fra kvantefysikk via hydrodynamikk til tallteori og geometri. Men ? finne noen som jobber med ? l?se dem, er ikke enkelt. Det er f? som f?ler seg bekvem med ? snakke h?yt om at de er i n?rheten av en s? halsbrekkende operasjon, med de enorme krav til kunnskap og den store fallh?yden ved ? mislykkes.
Det faktum at en stor sum penger er knyttet til l?sningen av hver av g?tene, ser heller ikke ut til ? virke spesielt stimulerende for ? fors?ke seg p? slike bragder.
– ? fors?ke ? l?se et av problemene p? Clays liste, er en altfor usikker strategi for ? vinne rikdom, sier professor Jens Erik Fenstad ved Matematisk institutt. Han oppfatter ikke de sju utfordringene med dertil h?rende pengepremier som noe viktig incitament for profesjonelle matematikere.
– Det jobbes allerede med samtlige sju problemer. De er alle b?de viktige og velkjente og har lenge v?rt en utfordring for matematikerne. S?nn sett er listen ikke n?dvendig for ? motivere matematikere til ? fors?ke ? l?se dem. Men den kan gj?re en st?rre allmennhet oppmerksom p? matematikkens betydning. Den viktigste drivkraften for matematikere er n?r alt kommer til alt en kombinasjon av glede og ?rgjerrighet, sier Fenstad. – Gleden over ? oppn? nye erkjennelser og st?rre innsikt, kombinert med ?nsket om ? bli husket for ? ha l?st vanskelige problemer.
– Hvordan kan disse g?tene l?ses?
– For enkelte av de sju problemene er det som trengs en god idé, fra en mentalt atletisk enkeltperson. Men flere av dem er store forskningsprogrammer som mange mennesker jobber med, sier Jens Erik Fenstad.
Utfordring nr. 1: P versus NP
En av de sju n?ttene handler nettopp om ? l?se vanskelige problemer. Mange matematiske problemer er enkle ? beregne. Det finnes velkjente regneregler – algoritmer – for ? l?se dem innen rimelig tid. Disse samler matematikerne i klassen ?P?. Andre problemer kan i teorien l?ses, men det vil ta s? lang tid at det er umulig ? gjennomf?re i praksis. Imidlertid er det mulig ? sjekke om en l?sning p? problemet er riktig i l?pet av overkommelig tid. De som kan sjekkes, men ikke l?ses fra bunnen i gjennomf?rbar tid, kaller matematikerne klassen ?NP?. Intuitivt antar de fleste at klassen NP er st?rre enn klassen P, men ingen har noen gang kunnet bevise at det er forskjell p? de to klassene. Kanskje alle problemer hvor l?sningene kan sjekkes, ogs? har en l?sning som er gjennomf?rbar. I s? fall kan for eksempel en rekke krypterte meldinger knekkes i overkommelig tid, bare noen finner den riktige metoden, og mang en nettbankoverf?ring blir dermed det rene hasardspill.
H?y status
I likhet med Fenstad avviser ogs? professor John Rognes at pengepremien vil v?re noen motiverende faktor for ? ta fatt p? en av de vanskelige n?ttene.
– Listen oppfattes nok mest som en kuriositet. Ingen etablert matematiker vil p? grunn av pengepremien forandre fagfelt for ? begynne ? arbeide med disse problemene. For ut?vende matematikere vil alle problemene imidlertid allerede ha s? h?y status at mange vil v?re interessert i ? tenke p? dem.
Rognes mener forskere ved Matematisk institutt vil kunne ha noe ? bidra med ved noen aspekter knyttet til de fleste g?tene. Et felt hvor han mener det finnes gode kunnskaper p? universitetet, er klassifikasjon av geometriske former, ogs? kalt mangfoldigheter.
Utfordring nr. 3: Poincaré-formodningen
Et av de sju problemene, Poincaré-formodningen, handler om topologiske egenskaper ved overflaten av ulike legemer i rommet, det vil si egenskaper som ikke endres om flaten t?yes og strekkes som gummi, men uten ? klippes og limes. En sammenhengende flate sies ? v?re enkeltsammenhengende hvis enhver kurve p? flaten kan snurpes sammen som en gummistrikk til et punkt uten ? forlate flaten. Denne egenskapen har ikke overflaten p? en smultring, hvor det er umulig ? snurpe sammen en gummistrikk rundt ringen til et punkt uten ? forlate overflaten. Derimot vil overflaten p? en kule ha denne egenskapen. Kuleflaten er alts? enkeltsammenhengende. Enhver enkeltsammenhengende flate er topologisk lik en kuleflate. Med matematikkens terminologi: en enkeltsammenhengende todimensjonal lukket mangfoldighet, dvs. en enkeltsammenhengende flate, er topologisk ekvivalent med en todimensjonal sf?re, dvs. kuleflaten. Sp?rsm?let er: gjelder det samme for en enkeltsammenhengende tredimensjonal lukket mangfoldighet ? Er den topologisk ekvivalent med en tredimensjonal sf?re ?
Fermats g?te
Ikke alle matematiske utfordringer er like infl?kte. Fermats g?te, som i over 350 ?r stod ul?st, er i utgangspunktet relativt enkel ? forst?: Likningen x^2 + y^2 = z^2 har uendelig mange l?sninger, den enkleste er 3^2 + 4^2 = 5^2. Finnes det noen l?sning i hele tall p? den tilsvarende likningen hvor tallene er opph?yd i h?yere potens enn to? Kan man ved hjelp av sm? terninger bygge opp f?rst en stor terning x^3 og s? en annen stor terning y^3, og siden sl? dem sammen til en enda st?rre terning z^3? Eller kan man gj?re det samme med tall opph?yd i en h?yere potens enn tre? Ingen har noen gang funnet tre tall som passet sammen i likningen, men det fantes likevel ikke noe matematisk bevis for at likningen ikke kunne l?ses, f?r Andrew Wiles kunne gi et tilfredsstillende bevis i 1994, ved hjelp av en lang rekke matematiske metoder, beskrevet over 130 sider.
Den samme Wiles er en av de fire som har formulert problemene fra Clay Mathematics Institute. Sammen med seg i instituttets vitenskapelige r?d hadde han blant andre den franske professoren Alain Connes , som 1. september i ?r ble kreert til ?resdoktor ved Universitetet i Oslo. Da vi opps?kte den joviale Connes, var han lite villig til ? snakke om seg selv og sine bragder, men de matematiske utfordringene som er nedfelt i de sju g?tene, snakket han gjerne om:
– Alle de sju problemene er l?sbare, men det er usikkert innenfor hvilken tidshorisont. Vi ?nsket ? finne noen av de grunnleggende problemene innen flest mulige grener av matematikken. ? l?se disse problemene, er som ? klatre til toppen av Mount Everest, sier Connes. Akkurat som Fermats g?te krevde en haug matematiske teknikker fra ulike disipliner for ? bli l?st, krever hvert av de sju problemene store matematikkunnskaper, for ikke ? si helt nye teknikker og begreper, for ? kunne l?ses.
Utfordring nr. 6: Navier-Stokes’ likninger
I tilknytning til ett av problemene, Navier-Stokes’ likninger, har Universitetet i Oslo et sterkt milj? innenfor et annet realfag, geofysikk. Likningene beskriver hvordan trykk og hastighet i en v?ske utvikler seg. Den ser ut til ? gi en god beskrivelse av hva som skjer fysisk. Anvendt p? vann eller luft har disse likningene en stor betydning for geofysiske beregninger og v?rvarsling. Sp?rsm?let er om det finnes et teoretisk fundament for den l?sningen man ser i praksis. Ogs? i milj?et p? avdeling
for mekanikk ved matematisk institutt jobbes det med simulering av disse likningene.
Optimistiske hypoteser
– Det er vanskelig ? gjette hvor mange millioner Clay m? ut med, men noen millioner ryker nok, sier f?rsteamanuensis Nils ?vrelid ved Matematisk institutt om muligheten for ? finne l?sninger p? problemene. Han kaller de fleste problemene for optimistiske hypoteser: – Hvis svaret p? antakelsene og hypotesene er positive, sier det at verden er forholdsvis enkel. Men det er et langt sprang fra ? sannsynliggj?re noe til ? bevise det.
P? direkte sp?rsm?l om hvor han mener milj?et i Oslo har noe ? bidra med, blir ?vrelid n?lende. – Tja, kanskje innenfor Riemann-hypotesen.
Utfordring nr. 4: Riemann-hypotesen
Riemann-hypotesen er det eldste og kanskje viktigste problemet av de sju. Den behandler et fundamentalt felt i matematikken, nemlig rekken av primtall. Primtallene, det vil si de tallene som ikke kan deles p? andre tall enn 1 eller seg selv, ligger f?rst tett p? tallinjen (2,3,5,7,11,13,17…). S? tynnes de ut etter hvert som man beveger seg oppover. Mens det finnes 25 primtall mellom 0 og 100, finnes det bare to mellom 100 000 og 100 100. I den uendelige rekken av tall finnes det et uendelig antall primtall, og antakelig ogs? en uendelig antall primtallstvillinger, par av primtall med differanse p? to (for eksempel 22 271 og 22 273). Ingen har noen gang klart ? avdekke et m?nster i fordelingen av primtall.
M?nsteret i rekken av primtall viser seg i nullpunktene til en spesiell funksjon som kalles Riemanns Zeta-funksjon. En funksjon er en formel hvor man setter inn ett tall og f?r ut et annet tall, og nullpunktene til funksjonen er de tallene som gir svaret null n?r de blir satt inn i funksjonen.
Den s?kalte Riemann-hypotesen sier noe om hvor nullpunktene til Zeta-funksjonen kan finnes. (De skal alle ligge p? en bestemt linje i det ?komplekse tallplan?.) Hvis Riemann-hypotesen er sann, er tallenes verden mer regelmessig enn hvis den ikke er det, sier ?vrelid.
?nske om ? rekruttere
Heller ikke Alain Connes ser p? pengepremien som den viktigste drivkraften for ? knekke n?ttene:
– Premien p? én million dollar gjenspeiler at det er snakk om virkelig vanskelige problemer, som vi til dels ikke har teknikker for ? l?se i dag. Men det viktigste m?let med listen er ? f? publisitet. Hilberts liste gjorde kjent noen grunnleggende matematiske problemer. Problemene p? denne listen er velkjent blant matematikerne. N? er m?let ? fors?ke ? rekruttere unge mennesker til ? arbeide med dem, slik at de en eller annen gang i framtiden kan l?ses.
Jens Erik Fenstad mener imidlertid at de sju n?ttene fra Clay Mathematics Institute representerer et konservativt valg: – Jeg synes listen mangler perspektiv og fantasi overfor nye anvendelser og utfordringer. Ikke minst i retning av biomedisin, hvor det er enorme matematiske utfordringer knyttet til unders?kelsen av det menneskelige arvestoffet.
John Rognes oppsummerer det hele slik: – Jeg tror alle problemene er l?sbare. Men det kan hende at de over lang tid blir oppfattet som uaktuelle. Da beh?ver de ikke ? bli l?st.