Rom og dimensjon ? hva er det?

Apollons kronikk:

Om geometrien og v?r virkelighetsoppfatning.

Jeg synes dette er et sympatisk trekk ved personen Gauss, som ellers ikke var s?rlig beskjeden av seg. Tanken p? at vi noen gang skulle kunne finne den endelige matematisk formulerte modell for kosmologiens Rom, er etter min mening absurd.

Det hindrer likevel ikke at en stadig fors?ker ? finne bedre modeller og at man i dag er kommet et godt stykke lengre enn p? Gauss? tid.

Kosmologiens Rom

Det er rimelig ? tro at alle kulturer de siste 10000 ?r har hatt en ganske avansert kosmologi hvor forestillingen om Rommet, universet, har hatt en sentral plass. V?r kulturkrets arvet det bilde som grekerne utviklet, og som i nesten to tusen ?r formidlet v?r forestilling om universet og v?r plass i det. Dette bildet har vi fra Aristoteles og den greske astronomen Ptolemaius, og vi kjenner det igjen fra Dantes beskrivelse i det 13. ?rhundre, av stedet der han hadde gjort sine observasjoner.

I midten er den sirkelrunde Jord, med Helvete i sitt indre og en smal passasje mellom det og Skj?rsilden, som ligger i bunnen av en slags trappeformet pyramide satt ned i jordens overflate, med det jordiske paradis p? toppen. Utenfor dette f?lger ni konsentriske kuleflater av eter, som inneholder, innenfra og ut, M?nen, Merkur, Venus, Solen, Mars, Jupiter, Saturn, fiksstjernene med stjernebildene, og helt ytterst Krystall-sf?ren, Primum Mobile. Utenfor ligger det empyriske Paradis. Rommet var derfor endelig, og egentlig flatt innenfor hver kuleflate.

Skj?rsilden p? Sicilia?

Da Skj?rsilden ble introdusert i den kristne forestillingsverden p? 1000¨C1100-tallet, ble plasseringen av dette stedet et problem. Den franske historikeren Le Goff forteller at man en tid var innstilt p? ? la det ligge i bunnen av vulkanen Etna, men s? erobret muslimene Sicilia, og da gikk ikke det. Resultatet ser vi alts? i Dantes figur, der Skj?rsilden er blitt Det tredje sted .

Noen har spekulert p? om denne plasseringsdebatten ga opphav til den endrede forestillingen om Rommet som tredimensjonalt , slik den nye billedkunsten p? 1200¨C1300- tallet framstilte det ved innf?ringen av perspektivet.

Det som er sikkert, er at omtrent p? denne tiden f?dtes en helt ny matematisk forestilling om Rommet, med r?tter i antikken.

Antikkens rom-begrep

Grekerne hadde ved siden av sin gudeverden, som mange av datidens vismenn egentlig ikke tok s?rlig alvorlig, og ved siden av Aristoteles? forestilling om det sf?riske univers, en eksakt kosmologi, og en matematisk vel formulert modell for Rommet. Den var bygd p? den evklidske geometri, slik vi kjenner den fra Evklids bok Elementer og gjorde det mulig for Aristarchos fra Samos, som levde i det fjerde ?rhundre f?r v?r tidsregning, ? beregne avstandene til m?ne og sol, og solens, m?nens og jordens relative st?rrelser. Han kom ut i uv?r da han til og med foreslo at solen var mange ganger st?rre enn jorden og at jorden derfor m?tte g? rundt solen. Man hadde spekulert p? om solen kunne v?re st?rre enn Peloponnes, men det fikk da v?re grenser. De lokale moralske autoriteter slipte knivene og ville ha en prosess, men Aristarchos var heldig og slapp unna.

Astronomen Erathostenes, som virket i Aleksandria vel et ?rhundre senere, brukte geometrien og kjennskapet til en dyp br?nn i Syene, n?v?rende Assuan, der Nassers Nil-dam ligger, til ? beregne jordens st?rrelse, til nesten eksakt det den er.

Etter den greske kulturs sammenbrudd p? 400¨C500 tallet, l? denne kunnskapen lenge i dvale, men rundt 1200 dukket den alts? opp igjen.

Den nyere tids kjettere

Historien videre, med Kopernikus, Bruno og Kepler, p? 1500¨C1600-tallet, er kjent for de fleste. Giordano Bruno var en av de f?rste som torde ? foresl? at Rommet var uendelig, med ?et utellbart antall soler, og et uendelig antall jordkloder som roterer rundt disse solene?.

I 1600 ble han brent p? b?l for dette kjetteriet.

Mindre kjent er den engelske forfatteren Thomas Digges, som f?r Bruno i 1576 skrev om utallige soler og et uendelig univers . Og slik har vi senere oppfattet det, helt til tvilen kom krypende i f?rste halvdel av det 20. ?rhundre. Kanskje er universet likevel endelig.

Den geometriske rom-modell vinner fram

Dette var Rommet med stor R, kosmologiens rom. Men matematikken har ogs? hatt et rombegrep, helt fra grekernes dager. Geometrien handler om det, og denne matematiske grenen har hatt enorm innflytelse p? v?r n?v?rende forestilling om Rommet med stor R.

F?rsteutgaven til Encyclop?dia Britannica , fra 1771, har f?lgende svar p? sp?rsm?let om hva rom er: F?rst Rommet med stor R,

?Rom(met) er (av Mr. Locke) definert som en enkel id¨¦ som vi (tilegner oss eller) oppn?r ved hjelp av b?de syn og ber?ring; og som manifesteres ved begrepene lengde, volum, utstrekning, varighet etc. Se Metafysikk.?

?Rom, i geometri, betegner arealet til enhver geometrisk figur, eller den flate som fyller mellomrommet mellom linjene som omslutter figuren.?

?The Society of Gentlemen in Scotland?, som utga encyclop?diaen, skiller alts? klart mellom det vi kaller for Rommet, kosmologiens tredimensjonale rom og det geometriske begrep rom, som defineres som et todimensjonalt plant omr?de, for eksempel begrenset av linjer, i tr?d med den evklidske plangeometri.

Men i tiden mellom Evklid i det tredje ?rhundre f?r v?r tidsregning og 1771 hadde ikke bare fysikken, men ogs? geometrien tatt et par store sprang framover.

Galilei, Descartes og Pierre de Fermat, Newton og Leibniz la p? 1600-tallet grunnlaget for en helt ny m?te ? se den fysikalske verden p? og skapte det n?dvendige matematiske verkt?y for ? formulere og l?se urgamle problemer knyttet til v?r kosmologi.

Etter Galilei er all naturvitenskap fors?kt formulert i en matematisk spr?kdrakt, og etter Descartes? fundamentale arbeider p? 1620-tallet, som vi skal komme tilbake til, var det evklidske rom-begrep blitt fundamentalt endret og utvidet, slik at det n? l? til rette for ? formulere en matematisk modell for kosmologiens Rom-begrep. Det vi i dag kaller den klassiske fysikk, er fremdeles basert p? dette generaliserte evklidske, eller kartesiske rom-begrepet, hvor punkter beskrives ved hjelp av tre koordinater, i et koordinatsystem som ser ut som et hj?rne i det rom vi sitter i, med x- og y-aksene i gulv-planet og z-aksen rett opp.

Rom og dimensjon

Begrepet rom er ogs? ul?selig knyttet til begrepet dimensjon, og det har vist seg ? v?re et vanskelig begrep. I den f?r nevnte Encyclop?dia Britannica er dimensjon definert ved:

?Dimensjon, i geometri, er enten lengde, bredde eller tykkelse: s?ledes har en linje en dimensjon, dvs. lengde; en overflate har to dimensjoner, dvs. lengde og bredde; og et legeme har tre , dvs. lengde bredde og tykkelse.?

Denne forestilling om dimensjon, til de ulike geometriske objektene, punkt, linje, flate, og volum, er urgammel. Det er rimelig ? tro at sumererne, helt sikkert egypterne i den klassiske epoken, og vitnefast grekerne p? pythagoreernes tid, ville ha forst?tt hva man snakket om. Men de ville ikke ha tenkt p? samme m?te som forfatteren i 1771. Det kartesiske dimensjonsbegrepet i denne definisjonen er nemlig knyttet til antall koordinater, eller antall parametre , og det er nytt.

Fra to til mange dimensjoner

Geometrien fra den klassiske perioden fikk, som allerede nevnt, nytt liv ved Descartes og de Fermat og det som senere er blitt kalt algebraisk og analytisk geometri.

Ved ? velge en m?leenhet og to p? hverandre vinkelrette linjer i det evklidske plan, kunne Descartes til hvert punkt i planet assosiere et tallpar (x,y), koordinatene til punktet, og i dette rommet av tallpar er avstanden mellom to punkter definert ved hjelp av Pythagoras? sats.

Denne nye m?ten ? oppfatte planet p?, som en samling eller mengde av tallpar, gjorde det ogs? mulig og naturlig ? utvide det matematiske rom-begrepet i mange retninger. For med en opplagt generalisering av Pythagoras? sats, vil mengden av alle ¡¯talltupler¡¯ av formen (x,y,z,u,v, ...,?) ha egenskaper av samme natur som det todimensjonale evklidske rom.

I 1771 var det dermed ingen grunn til ? begrense seg til rom av 1 eller 2 dimensjoner, slik encyklop?diaen gj?r. Det kartesiske rom av dimensjon 3, 4, 5, etc. var allerede etablert.

Begrepet polynom i flere variabler som Descartes og de Fermat introduserte, gjorde det i tillegg mulig ? definere og studere en uendelighet av nye kurver i planet, nye flater i det tredimensjonale rom og helt andre geometriske rom.

Tidrommet.

Det firedimensjonale kartesiske rom, av punkter med koordinatene (t,x,y,z), ble tidlig assosiert med Tidrommet . Dette til tross for at Tidrommet, universet med v?r historie og v?r framtid inkludert, har egenskaper som er helt forskjellige fra det ordin?re Rom. Det ordin?re Rom kan identifiseres med det tredimensjonale kartesiske rom ved ? velge en m?leenhet med tilh?rende m?leredskap, for eksempel en meterstav.

For ? identifisere Tidrommet med det firedimensjonale kartesiske rom, m? vi imidlertid velge en lengdeenhet, for eksempel meteren, for de tre siste koordinatene, men ogs? en tidsenhet, og denne tidsenheten m? n?dvendigvis v?re av en helt annen natur enn en meterstav i platina. Dessuten er negativ tid ikke forenlig med v?r umiddelbare erfaring.

Likevel, denne kartesiske firedimensjonale modellen for Tidrommet ble uten s?rlig motstand akseptert av tidens fysikere, og denne matematiske modellen er n? blitt v?rt bilde av verden, selv om de fleste av oss neppe g?r rundt og tenker p? hvor vi er og hva vi gj?r og hvor lenge det tar , i slike termer.

Topologi

Etter at matematikerne Gauss og Riemann, Maxwell, Minkowski og Poincar¨¦ p? 1800-tallet igjen hadde gitt geometrien et helt nytt innhold, ble det klart at avstandsbegrepet, metrikken , var en n?kkel til ny forst?else av geometrien og begrepet rom. Man m?tte avfinne seg med at det i en del av Rommet ble brukt ¨¦n m?lestav og ¨¦n klokke, og i andre deler av Rommet andre m?lestaver og andre klokker. Sm? endringer av disse m?lestavene eller disse klokkene vil normalt ikke endre rommets essensielle egenskaper. Det som da ikke endrer seg, kaller en for topologien til rommet. To rom kan derfor ha forskjellig metrikk , men likevel v?re topologisk like (homeomorfe).

Topologi, eller analysis situs , l?ren om stedet, er en del av mengdel?ren, og han som har hoved?ren for ? ha oppfunnet mengdel?ren, tyskeren Georg Cantor, var tidlig ute med noen merkelige satser. F?rst viste han at mengden av de reelle tall slik vi matematisk beskriver dem, er en fenomenalt stor mengde. De rasjonale tall, dvs. de tall som er br?ker av hele tall, utgj?r bare en forsvinnende liten del av mengden av de reelle tall.

Dessu ten, hevdet han, er det like mange punkter p? linjen som i planet og like mange i planet som i det tredimensjonale kartesiske rom, etc. Det betyr at dette tallet 3, dimensjonen til det tredimensjonale kartesiske rom, ikke har noen mening i forhold til antall punkter i det rom vi snakker om.

Dette var urovekkende, men virkelig ille ble det da den italienske matematikeren Giuseppe Peano viste at det eksisterer en kontinuerlig avbildning av et linjestykke p? kvadratet i planet, og derfor p? kuben i rommet, etc.

Universell hodepine

Kunne det tenkes at linjen var topologisk lik planet og at planet var topologisk likt det tredimensjonale kartesiske rom? I s? fall ville det ikke eksistere noe som man med rimelighet kunne kalle dimensjon. Da ville sammenhengen mellom en linje og den ene dimensjon, mellom et plan og de to dimensjonene, mellom rommet og de tre, bare avhenge av valg av koordinatsystemer, og vi ville f? store problemer med hele v?rt fysiske verdensbilde.

I 1911 kunne endelig Brouwer bevise at det n-dimensjonale kartesiske rom ikke er homeomorft med det m-dimensjonale for n forskjellig fra m. Dermed var den verste hodepinen over, og ?ret etter grunnla franskmannen Henri Poincar¨¦ den matematiske dimensjonsteori .

Poincar¨¦s artikkel ble trykt i Revue de m¨¦taphysique et de morale i 1912, hans siste leve?r, og inneholder f?lgende avsnitt.

Av alle teoremer innen analysis situs (topologien) er det viktigste det som uttrykker at rommet har tre dimensjoner ... ... vi skal stille sp?rsm?let slik: n?r vi sier at rommet har tre dimensjoner, hva mener vi?

... hvis det, for ? skille (i to eller flere ?pne mengder) et kontinuum, er tilstrekkelig ? ta bort et visst antall isolerte punkter, sier vi at kontinuumet har dimensjon 1.

... hvis det for ? skille et kontinuum (som ikke er av dimensjon 1), er tilstrekkelig ? ta bort et eller flere kontinua av dimensjon 1, sier vi at kontinuumet har dimensjon 2 .

S? fortsetter han og definerer, induktivt, det vi skal mene med dimensjon.

Nye dimensjonsbegreper

Noe f?r, i 1911, fortelles det at landsmannen Henri Lebesgue, idet han passerte en av de mange murstensveggene i Paris, observerte at hvis man deler inn et plan i sm? nok biter, s? vil h?yst tre st?te sammen. Det er velkjent for enhver murer! Men Lebesgue generaliserte dette senere til alle dimensjoner, og dermed oppstod et nytt matematisk dimensjonsbegrep, kalt overdekningsdimensjon .

For ethvert topologisk rom ble det n? mulig ? definere en dimensjon, et helt tall, enten ved den induktive metoden til Poincar¨¦, eller ved Lebesgues overdekningsmetode. Disse dimensjonstallene faller sammen for rimelig pene rom, og dimensjonsbegrepet har de egenskapene som man kan forvente. (Se f.eks. den fenomenalt godt skrevne boken til Witold Hurewicz og Henry Wallman: Dimension Theory , Princeton University Press, fra 1941.)

Det finnes ogs? andre, ganske forskjellige dimensjonsbegreper. Hausdorff-dimensjonen til et metrisk rom trenger for eksempel ikke ? v?re et helt tall. Et rom som har Hausdorff-dimensjon som ikke er et helt tall, kalles en fraktal. Men denne Hausdorff-dimensjonen, og dermed begrepet fraktal, er helt avhengig av metrikken, ?m?lestavene?, som vi bruker i rommet v?rt. Det er ikke et topologisk begrep, og den fysiske relevans er tvilsom. Vi har ogs? begrepet Krull-dimensjon, definert for de rom vi kaller algebraiske varieteter.

Universets dimensjon

Kosmologiens Rom er neppe en fraktal, men kanskje er det algebraisk. Denne hypotesen er kan hende like bra som den at alt m? m?les og modelleres ved hjelp av de reelle tall.

I n?tidens fysikk arbeider man i alle fall med modeller for det kosmologiske Rom, modellert ved hjelp av metriske, topologiske og algebraiske rom av dimensjon 4, 10, 16, 22, 26 og uendelig. Og det blir stadig flere slike modeller. Hvilken dimensjon v?rt kosmologiske Rom egentlig har, t?r jeg, i pakt med Gauss, ikke uttale meg om!

Sp?rsm?let kan kanskje ha en mening , men 3 eller 4 er i alle fall ikke svaret.